From c2d4c62703f74db2769d70fe5cc1c7c4748c7796 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Ben Eltschig <eltschib@hu-berlin.de>
Date: Sun, 19 Sep 2021 05:22:59 +0200
Subject: [PATCH] Extra: Mengenlehre
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client/Skribbl.json | 344 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------
1 file changed, 293 insertions(+), 51 deletions(-)
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"\\rot": "\\textrm{rot }",
"\\Land": "\\bigwedge",
"\\Lor": "\\bigvee",
- "\\restrict": "\\left.#1\\right|"
+ "\\restrict": "\\left.#1\\right|",
+ "\\dotcup": "\\mathbin{\\dot\\cup}"
},
"topics": [
{
@@ -204,7 +205,10 @@
{"word": "Skolemisierung", "description": "Konstruktion einer zu einer gegebenen $\\FO[\\sigma]$-Formel $\\varphi$ erfüllbarkeitsäquivalenten gleichheitsfreien $\\FO[\\tau]$-Formel in Skolem-Normalform mit $\\sigma\\subseteq\\tau$, durch Ersetzen freier Variablen durch neu eingeführte Konstantensymbole, Ersetzen des Gleichheitszeichens durch ein neues Relationssymbol und die Bedingung dass dieses für eine Äquivalenzrelation steht, und Ersetzen von an Existenzquantoren gebundenen Variablen durch passende neue Funktionssymbole"},
{"word": "Herbrand-Expansion", "description": "Formelmenge $\\textrm{HE}(\\varphi):=\\left\\{\\psi\\frac{t_1,...,t_n}{x_1,...,x_n}\\mid t_1,...,t_n\\in\\textrm{GT}_\\sigma\\right\\}\\subseteq\\FO[\\sigma]$ für gleichheitsfreie $\\FO[\\sigma]$-Sätze $\\varphi:=\\forall x_1...\\forall x_n\\psi$ in Skolem-Normalform, bzw. Formelmenge $\\textrm{AHE}(\\varphi)\\subseteq\\AL$ die aus $\\textrm{HE}(\\varphi)$ durch Ersetzen aller atomaren Teilformeln $\\psi$ durch Aussagensymbole $X_\\psi$ hervorgeht"},
{"word": "Satz von Gödel-Herbrand-Skolem", "description": "gleichheitsfreie $\\FO[\\sigma]$-Sätze $\\varphi$ in Skolem-Normalform über abzählbaren Signaturen $\\sigma$ mit mindestens einem Konstantensymbol sind genau dann erfüllbar wenn deren aussagenlogische Herbrand-Expansion $\\textrm{AHE}(\\varphi)\\subseteq\\AL$ erfüllbar ist"},
- {"word": "Satz von Herbrand", "description": "$\\FO[\\sigma]$-Sätze der Form $\\varphi:=\\exists x_1...\\exists x_n\\psi(x_1,...,x_n)$ mit gleichheits- und quantorenfreiem $\\psi$ über abzählbaren Signaturen $\\sigma$ mit mindestens einem Konstantensymbol sind genau dann allgemeingültig wenn Grundterme $t_{11}$ bis $t_{mn}$ existieren für die $\\Lor_{i=1}^m\\psi\\frac{t_{i1},...,t_{in}}{x_1,...,x_n}$ allgemeingültig ist"}
+ {"word": "Satz von Herbrand", "description": "$\\FO[\\sigma]$-Sätze der Form $\\varphi:=\\exists x_1...\\exists x_n\\psi(x_1,...,x_n)$ mit gleichheits- und quantorenfreiem $\\psi$ über abzählbaren Signaturen $\\sigma$ mit mindestens einem Konstantensymbol sind genau dann allgemeingültig wenn Grundterme $t_{11}$ bis $t_{mn}$ existieren für die $\\Lor_{i=1}^m\\psi\\frac{t_{i1},...,t_{in}}{x_1,...,x_n}$ allgemeingültig ist"},
+ {"word": "Vollständigkeitssatz", "description": "für alle Signaturen $\\sigma$, Formelmengen $\\Phi\\subseteq\\FO[\\sigma]$ und Formeln $\\varphi\\in\\FO[\\sigma]$ existiert genau dann ein Beweis von $\\varphi$ aus $\\Phi$ wenn $\\varphi$ aus $\\Phi$ folgt, d.h. es gilt $\\Phi\\vdash_{\\mathfrak R_S}\\varphi\\Leftrightarrow\\Phi\\models\\varphi$, und Formelmengen $\\Phi\\subseteq\\FO[\\sigma]$ sind genau dann widerspruchsfrei wenn sie erfüllbar sind"},
+ {"word": "Erfüllbarkeitslemma", "description": "jede widerspruchsfreie Formelmenge ist erfüllbar"},
+ {"word": "Terminterpretation", "description": "$\\sigma$-Interpretation $\\mathcal I_\\Phi:=(\\mathcal A,\\beta)$ mit der Menge $T_\\sigma$ aller $\\sigma$-Terme als Universum $A$ und einer so darauf definierten Struktur $\\mathcal A$ und Belegung $\\beta$ dass für alle $\\sigma$-Terme $t\\in T_\\sigma$ $[\\![t]\\!]^{\\mathcal I_\\Phi}=t$ gilt, nützlich unter anderem zum Beweis des Erfüllbarkeitslemmas"}
]
},
{
@@ -248,9 +252,10 @@
{"word": "beweisbar", "description": "Formel $\\varphi$ aus einer Formelmenge $\\Phi$ wenn es einen Beweis von $\\varphi$ aus $\\Phi$ gibt, also eine Ableitung einer Sequenz $\\Gamma\\vdash\\varphi$ mit $\\Gamma\\subseteq_e\\Phi$ im Sequenzenkalkül $\\mathfrak R_S$, geschrieben $\\Phi\\vdash_{\\mathfrak R_S}\\varphi$"},
{"word": "widerspruchsvoll", "description": "Formelmenge $\\Phi$ falls für eine Aussage $\\varphi$ sowohl ein Beweis von $\\varphi$ aus $\\Phi$ als auch ein Beweis von $\\neg\\varphi$ aus $\\Phi$ existiert"},
{"word": "widerspruchsfrei", "description": "Formelmenge $\\Phi$ falls für jede Aussage $\\varphi$ entweder kein Beweis von $\\varphi$ aus $\\Phi$ oder kein Beweis von $\\neg\\varphi$ aus $\\Phi$ existiert"},
- {"word": "Vollständigkeitssatz", "description": "für alle Signaturen $\\sigma$, Formelmengen $\\Phi\\subseteq\\FO[\\sigma]$ und Formeln $\\varphi\\in\\FO[\\sigma]$ existiert genau dann ein Beweis von $\\varphi$ aus $\\Phi$ wenn $\\varphi$ aus $\\Phi$ folgt, d.h. es gilt $\\Phi\\vdash_{\\mathfrak R_S}\\varphi\\Leftrightarrow\\Phi\\models\\varphi$, und Formelmengen $\\Phi\\subseteq\\FO[\\sigma]$ sind genau dann widerspruchsfrei wenn sie erfüllbar sind"},
- {"word": "Erfüllbarkeitslemma", "description": "jede widerspruchsfreie Formelmenge ist erfüllbar"},
- {"word": "Terminterpretation", "description": "$\\sigma$-Interpretation $\\mathcal I_\\Phi:=(\\mathcal A,\\beta)$ mit der Menge $T_\\sigma$ aller $\\sigma$-Terme als Universum $A$ und einer so darauf definierten Struktur $\\mathcal A$ und Belegung $\\beta$ dass für alle $\\sigma$-Terme $t\\in T_\\sigma$ $[\\![t]\\!]^{\\mathcal I_\\Phi}=t$ gilt, nützlich unter anderem zum Beweis des Erfüllbarkeitslemmas"}
+ {"word": "Theorie", "description": "deduktiv abgeschlossene Menge von Sätzen, die also jeden aus ihr beweisbaren Satz auch enthält"},
+ {"word": "deduktiv abgeschlossen", "description": "Formelmenge die jede aus ihr beweisbare Formel auch enthält"},
+ {"word": "Axiomensystem", "description": "System von als wahr angenommenen Sätzen das die logische Grundlage einer Theorie bildet"},
+ {"word": "Axiomenschema", "description": "metasprachliche Konstruktionsvorschrift für ein unendliches Axiomensystem, dessen Axiome also nicht einfach alle angegeben werden können"}
]
},
{
@@ -274,28 +279,43 @@
{
"name": "Mengenlehre",
"words": [
- {"word": "Mengenlehre"},
- {"word": "Menge"},
+ {"word": "Mengenlehre", "description": "Studium von Mengen als axiomatische Grundlage der gesamten Mathematik, formal Theorie erster Stufe über der Signatur $\\{\\in\\}$"},
+ {"word": "naive Mengenlehre", "description": "informelles Studium von Mengen wie es Ende des 19. Jahrhunderts praktiziert wurde", "notes": ["führte aufgrund fehlender Rigorosität zu allerlei Widersprüchen, wie den Cantorschen Antinomien oder der Russelschen Antinomie"]},
+ {"word": "Menge", "description": "gedachte Zusammenfassung von Objekten zu einem ganzen, bzw. formal Element des Universums eines Modells des jeweils betrachteten Axiomensystems"},
+ {"word": "Element", "description": "Objekt $x$ mit $x\\in X$ für eine Menge $X$, das also in dieser enthalten ist"},
+ {"word": "Urelement", "description": "Element das selbst keine Elemente hat, in der naiven Mengenlehre z.B. Zahlen etc., in ZF nur die leere Menge"},
+ {"word": "Russelsches Paradoxon", "description": "Paradoxon der \"Menge\" aller Mengen die sich nicht selbst enthalten, zeigt die Widersprüchlichkeit des Komprehensionsschemas"},
+ {"word": "leere Menge", "description": "Menge ohne Elemente, geschrieben $\\emptyset$ oder $\\varnothing$"},
+ {"word": "einelementig", "synonyms": ["Elementarmenge"], "description": "Menge mit genau einem Element"},
+ {"word": "zweielementig", "synonyms": ["Paarmenge"], "description": "Menge mit genau zwei Elementen"},
{"word": "Familie", "description": "Konstrukt das jedem Element einer Indexmenge einen Wert zuordnet, geschrieben $(a_i)_{i\\in I}$"},
- {"word": "Tupel", "description": "Familie mit der Indexmenge $I=\\{1,2,...,n\\}$ für ein $n\\in\\setN$, geschrieben $(a_1,a_2,...,a_n)$"},
- {"word": "Paar", "description": "Tupel mit zwei Elementen"},
+ {"word": "Tupel", "description": "Familie mit der Indexmenge $I=\\{1,2,...,n\\}$ für ein $n\\in\\setN$, geschrieben $(a_1,a_2,...,a_n)$", "notes": ["formal auch oft rekursiv als Menge $(a_1,...,a_n):=((a_1,...,a_{n-1}),a_n)$ mit $(x,y):=\\{\\{x\\},\\{x,y\\}\\}$ definiert"]},
+ {"word": "Paar", "synonyms": ["geordnetes Paar"], "description": "Tupel mit zwei Elementen, formal auch oft als Menge $(x,y):=\\{\\{x\\}\\{x,y\\}\\}$ definiert"},
{"word": "Tripel", "description": "Tupel mit drei Elementen"},
{"word": "Quadrupel", "description": "Tupel mit vier Elementen"},
- {"word": "Folge", "description": "Familie $(a_n)$ mit der Indexmenge $\\setN$ oder $\\setN_0$, bzw. Abbildung $a:\\setN\\to X,n\\mapsto a_n$ auf eine Menge $X$"},
- {"word": "Element"},
- {"word": "Russelsches Paradoxon", "description": "Paradoxon der \"Menge\" aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten"},
- {"word": "leere Menge", "synonyms": ["leer"]},
- {"word": "Teilmenge"},
- {"word": "echte Teilmenge"},
- {"word": "unechte Teilmenge"},
- {"word": "Schnittmenge", "synonyms": ["Durchschnitt"]},
- {"word": "Vereinigung"},
- {"word": "disjunkte Vereinigung"},
- {"word": "disjunkt"},
- {"word": "Differenzmenge", "synonyms": ["Komplement"]},
- {"word": "Produktmenge", "synonyms": ["Produkt"]},
- {"word": "Potenzmenge", "description": "Menge $\\mathcal{P}(A)$ aller Teilmengen einer Menge $A$"},
- {"word": "externe disjunkte Vereinigung", "description": "$\\bigsqcup_{i\\in I}M_i:=\\bigcup_{i\\in I}M_i\\times\\{i\\}$"},
+ {"word": "Folge", "description": "Familie $(a_n)$ mit der Indexmenge $\\setN$ oder $\\setN_0$, bzw. Abbildung $a:\\setN\\to X,n\\mapsto a_n$ in eine Menge $X$"},
+ {"word": "Teilmenge", "description": "Menge $X$ deren Elemente alle auch in $Y$ liegen, geschrieben $X\\subseteq Y$"},
+ {"word": "echte Teilmenge", "description": "Teilmenge $X$ einer Menge $Y$ mit $X\\neq Y$, geschrieben $X\\subset Y$"},
+ {"word": "unechte Teilmenge", "description": "Teilmenge $X$ einer Menge $Y$ mit $X=Y$"},
+ {"word": "Schnittmenge", "synonyms": ["Durchschnitt"], "description": "Menge $X\\cap Y:=\\{x\\in X\\mid x\\in Y\\}$ aller Elemente zweier Mengen $X$ und $Y$ die sowohl in $X$ als auch in $Y$ liegen", "notes": ["formal direkt aus dem Aussonderungsschema konstruierbar"]},
+ {"word": "Vereinigung", "description": "Menge $X\\cup Y$ die alle Elemente zweier Mengen $X$ und $Y$ enthält", "notes": ["durch das Vereinigungsaxiom und ggf. Paarmengenaxiom als existent vorausgesetzt"]},
+ {"word": "disjunkte Vereinigung", "description": "Vereinigung $X\\dotcup Y$ zweier disjunkter Mengen, bzw. disjunkte Vereinigung $\\bigsqcup_{i\\in I}M_i:=\\bigcup_{i\\in I}X_i\\times\\{i\\}$ einer Mengenfamilie $(X_i)$"},
+ {"word": "disjunkt", "description": "Mengen $X,Y$ mit $X\\cap Y=\\emptyset$, die also keine Elemente gemeinsam haben"},
+ {"word": "Differenzmenge", "synonyms": ["Komplement"], "description": "Menge $X\\setminus Y:=\\{x\\in X\\mid x\\notin Y\\}$ aller Elemente einer Menge $X$ die nicht auch in $Y$ liegen", "notes": ["formal direkt aus dem Aussonderungsschema konstruierbar"]},
+ {"word": "Produktmenge", "synonyms": ["kartesisches Produkt"], "description": "Menge $X\\times Y:=\\{(x,y)\\mid x\\in X\\land y\\in Y\\}$ aller Paare von Elementen aus $X$ und $Y$", "notes": ["gleichermaßen für echte Klassen definiert, dann aber selbst echte Klasse", "für Mengen formal mit dem Aussonderungsschema aus $\\mathcal P(\\mathcal P(X\\cup Y))$ konstruierbar"]},
+ {"word": "Potenzmenge", "description": "Menge $\\mathcal P(A)$ aller Teilmengen einer Menge $A$", "notes": ["durch das Potenzmengenaxiom als existent vorrausgesetzt, allerdings ohne genau festzulegen welche Teilmengen neben den definierbaren noch existieren; z.B. $\\mathcal P(\\setN)$ und somit $\\setR$ kann also je nach Modell Elemente mit bestimmten Eigenschaften enthalten oder eben nicht, was u.A. das Skolem-Paradoxon und die Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese sowie des Auswahlaxioms zur Folge hat"]},
+ {"word": "Skolemsches Paradoxon", "description": "Paradoxon dass ZF und ZFC nach dem Satz von Löwenheim-Skolem abzählbare Modelle besitzen müssen, obwohl in ihnen die Existenz überabzählbarer Mengen bewiesen werden kann", "notes": ["erklärt sich dadurch dass Abzählbarkeit nicht absolut ist, d.h. Abzählbarkeit aus Sicht des Modells und aus Sicht der Metasprache sind nicht äquivalent"]},
+ {"word": "induktiv", "description": "Menge $X$ mit $\\emptyset\\in X$ und $x\\cup\\{x\\}\\in X$ für alle $x\\in X$", "notes": ["durch das Unendlichkeitsaxiom als existent vorausgesetzt", "erlaubt die Konstruktion von $\\setN_0$ als Schnitt aller solcher Mengen"]},
+ {"word": "transitiv", "description": "Menge $X$ mit $x\\subseteq X$ für alle $x\\in X$, die also nur Teilmengen von sich selbst als Elemente besitzt"},
+ {"word": "transitive Hülle", "description": "kleinste transitive Obermenge $\\textrm{TC}(X)$ einer Menge $X$"},
+ {"word": "erblich endlich", "description": "Menge $X$ deren transitive Hülle $\\textrm{TC}(X)$ endlich ist, bzw. die endlich ist und nur erblich endliche Elemente hat"},
+ {"word": "Auswahlfunktion", "description": "Funktion $f:X\\to\\bigcup X$ mit $f(x)\\in x$ für alle $x\\in X$, die also aus jeder Menge in $X$ ein Element auswählt"},
+ {"word": "AC", "description": "kurz für Auswahlaxiom"},
+ {"word": "ZF", "description": "Axiomensystem bestehend aus dem Extensionalitätsaxiom, Leermengenaxiom, Paarmengenaxiom, Vereinigungsaxiom, Unendlichkeitsaxiom, Potenzmengenaxiom, Fundierungsaxiom, Aussonderungsschema und Ersetzungsschema"},
+ {"word": "ZFC", "description": "Axiomensystem bestehend aus den Axiomen von ZF und dem Auswahlaxiom AC"},
+ {"word": "Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre", "description": "Mengenlehre auf Basis der Axiome ZF bzw. ZFC"},
+ {"word": "Grothendieck-Universum", "description": "transitive Menge $U$ die unter Paarmengen-, Produktmengen- und Potenzmengenbildung sowie Vereinigung ihrer Elemente abgeschlossen ist und für alle surjektiven $f:a\\to b$ mit $a\\in U$ und $b\\subseteq U$ auch $b$ enthält", "notes": ["im Fall $\\setN_0\\notin U$ Menge aller erblich endlichen Mengen", "im Fall $\\setN_0\\in U$ zusammen mit $\\in$ eingeschränkt auf $U$ selbst ein Modell von ZF bzw. ZFC, was die Konsistenz von ZF bzw. ZFC beweisen würde; mit dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz folgt daher, dass die Existenz überabzählbarer Grothendieck-Universen in ZF bzw. ZFC nicht bewiesen werden kann"]},
+ {"word": "Tarski-Grothendieck-Mengenlehre", "description": "Mengenlehre auf Basis der Axiome ZFC zusammen mit dem Axiom der unerreichbaren Mengen laut dem jede Menge Element eines Grothendieck-Universums ist"},
{"word": "Mächtigkeit", "synonyms": ["Kardinalität"], "description": "für endliche Mengen $A$ Anzahl $|A|=\\#A=\\textrm{card}(A)$ ihrer Elemente, für unendliche Mengen Äquivalenzklasse bezüglich Gleichmächtigkeit"},
{"word": "gleichmächtig", "description": "Mengen $A,B$ zwischen denen eine Bijektion besteht, geschrieben $|A|=|B|$"},
{"word": "mächtiger", "description": "Menge $A$ im Vergleich zu einer Menge $B$, wenn $B$ zu einer Teilmenge von $A$ aber nicht zu $A$ selbst gleichmächtig ist, geschrieben $|A|>|B|$"},
@@ -306,20 +326,46 @@
{"word": "überabzählbar", "description": "Menge $A$ mit $|A|>|\\setN|$"},
{"word": "Kontinuumshypothese", "description": "Hypothese dass es keine Menge $A$ mit $|\\setN|<|A|<|\\setR|$ gibt, hat sich als nicht entscheidbar herausgestellt"},
{"word": "Cantors erstes Diagonalargument", "description": "Beweis der Abzählbarkeit von $\\setN^2$ durch diagonales Ablaufen der Gitterpunkte"},
- {"word": "Cantors zweites Diagonalargument", "description": "Beweis der Überabzählbarkeit von $\\setR$ durch Konstruktion einer nicht in der Folge vorkommenden Zahl für jede reelle Folge"},
- {"word": "Klasse", "description": "gedachte Gesamtheit aller mengentheoretischen Objekte $x$ die eine Aussage $A(x)$ erfüllen, geschrieben $\\{x\\mid A(x)\\}$, aber nicht zwangsläufig tatsächlich eine Menge"},
- {"word": "echt", "synonyms": ["echte Klasse"], "description": "Klasse die keine Menge ist, z.B. die Klasse aller mengentheoretischen Objekte oder die Klasse aller Mengen die sich nicht selbst enthalten"}
+ {"word": "Cantors zweites Diagonalargument", "description": "Beweis der Überabzählbarkeit von $\\setR$ durch Konstruktion einer nicht in der Folge vorkommenden Zahl für jede reelle Folge"}
+ ],
+ "subtopics": [
+ {
+ "name": "Axiome",
+ "words": [
+ {"word": "Extensionalitätsaxiom", "description": "Axiom $(\\forall z(z\\in x\\leftrightarrow z\\in y))\\to x=y$ laut dem Mengen also gleich sind wenn sie die gleichen Elemente enthalten"},
+ {"word": "Aussonderungsschema", "synonyms": ["Separationsschema"], "description": "Axiomenschema $\\forall x\\exists y\\forall z(z\\in y\\leftrightarrow(z\\in x\\land A(z)))$ das die Existenz definierbarer Teilmengen fordert, geschrieben $\\{z\\in x\\mid A(z)\\}$", "notes": ["folgt mit $A'(x,y):\\equiv A(x)\\land x=y$ direkt aus dem Ersetzungsschema", "in ZF aber trotzdem redundant enthalten"]},
+ {"word": "Komprehensionsschema", "description": "Axiomenschema $\\exists x\\forall y(y\\in x\\leftrightarrow A(y))$ das die Existenz aller definierbarer Mengen fordert, geschrieben $\\{y\\mid A(y)\\}$, führt durch $\\{x\\mid x\\notin x\\}$ zum Russelschen Paradoxon"},
+ {"word": "Leermengenaxiom", "description": "Axiom $\\exists x\\forall y\\;y\\notin x$ das die Existenz der leeren Menge $\\emptyset$ fordert", "notes": ["folgt mit dem Aussonderungsschema bereits aus der Existenz einer beliebigen anderen Menge", "in ZF aber trotzdem redundant enthalten"]},
+ {"word": "Paarmengenaxiom", "description": "Axiom $\\forall x\\forall y\\exists z\\forall w(w\\in z\\leftrightarrow(w=x\\lor w=y))$ das die Existenz zwei- und einelementiger Mengen fordert, geschrieben $\\{x,y\\}$ bzw. $\\{x\\}:=\\{x,x\\}$"},
+ {"word": "Vereinigungsaxiom", "description": "Axiom $\\forall x\\exists y\\forall z(z\\in y\\leftrightarrow\\exists w(z\\in w\\land w\\in x))$ das die Existenz von Vereinigungen von Mengen fordert, geschrieben $\\bigcup x$ bzw. $x\\cup y:=\\bigcup\\{x,y\\}$"},
+ {"word": "Potenzmengenaxiom", "description": "Axiom $\\forall x\\exists y\\forall z(z\\in y\\leftrightarrow z\\subseteq x)$ das die Existenz von Potenzmengen fordert, geschrieben $\\mathcal P(x)$", "notes": ["trifft keine Aussage darüber welche Teilmengen tatsächlich existieren, sondern besagt nur, dass die Klasse aller existenten Teilmengen selbst eine Menge ist"]},
+ {"word": "Unendlichkeitsaxiom", "description": "Axiom $\\exists x(\\emptyset\\in x\\land\\forall y\\in x\\;y\\cup\\{y\\}\\in x)$ das die Existenz einer induktiven Menge fordert", "notes": ["erlaubt zusammen mit dem Aussonderungsschema die Konstruktion von $\\setN_0$ als Schnitt aller solcher Mengen"]},
+ {"word": "Ersetzungsschema", "description": "Axiomenschema $\\forall x\\forall y\\forall z((A(x,y)\\land A(x,z))\\to x=z)\\to\\forall x\\exists y\\forall z(z\\in y\\leftrightarrow\\exists w\\in x\\;A(w,z))$ das fordert dass die Bilder von Mengen unter rechtseindeutigen zweistelligen Prädikaten $A(x,y)$ wieder Mengen sind", "notes": ["impliziert mit $A'(x,y):\\equiv A(x)\\land x=y$ direkt das Aussonderungsschema"]},
+ {"word": "Regularitätsaxiom", "synonyms": ["Fundierungsaxiom"], "description": "Axiom $\\forall x(x\\neq\\emptyset\\to\\exists y\\in x\\;y\\cap x=\\emptyset)$ das fordert dass jede nichtleere Menge $x$ ein zu ihr disjunktes (\"$\\in$-minimales\") Element hat", "notes": ["impliziert dass es keine unendlichen Ketten $x_1\\ni x_2\\ni...$ bezüglich $\\in$ gibt, da sonst $\\{x_1,x_2,...\\}$ kein solches Element hätte", "äquivalent zum Schema $\\forall x(\\forall y\\in x\\;A(y)\\to A(x))\\to\\forall x A(x)$, genannt \"$\\in$-Induktion\""]},
+ {"word": "Auswahlaxiom", "description": "Axiom $\\forall x(\\emptyset\\notin x\\to\\exists f(f:x\\to\\bigcup x\\land\\forall y\\in x\\;f(y)\\in y))$ das für jede nichtleere Menge $x$ die Existenz einer Auswahlfunktion fordert", "notes": ["gilt aufgrund des nicht konstruktiven Charakters und Implikationen wie dem Banach-Tarski-Paradoxon und der Existenz nicht messbarer Mengen als umstritten, wird aber trotzdem oft genutzt"]},
+ {"word": "Axiom der unerreichbaren Mengen", "description": "Axiom $\\forall x\\exists u(u\\textrm{ ist Grothendieck-Universum}\\land x\\in u)$ das fordert dass jede Menge Element eines Grothendieck-Universums ist"}
+ ]
+ },
+ {
+ "name": "Klassen",
+ "words": [
+ {"word": "Klasse", "description": "Gesamtheit aller mengentheoretischen Objekte $x$ die eine Aussage $A(x)$ erfüllen, geschrieben $\\{x\\mid A(x)\\}$, aber nicht zwangsläufig tatsächlich eine Menge"},
+ {"word": "echt", "synonyms": ["echte Klasse"], "description": "Klasse die keine Menge ist, z.B. die Klasse aller mengentheoretischen Objekte oder die Klasse aller Mengen die sich nicht selbst enthalten"},
+ {"word": "Allklasse", "description": "Klasse $\\{x\\mid x=x\\}$ aller Mengen", "notes": ["echt, da sich sonst mit dem Aussonderungsschema das Russelsche Paradoxon herleiten ließe"]},
+ {"word": "Russelsche Klasse", "description": "Klasse $\\{x\\mid x\\notin x\\}$ aller Mengen die sich nicht selbst enthalten", "notes": ["echt, da sonst das Russelsche Paradoxon auftreten würde", "in ZF aufgrund des Fundierungsaxioms gleich der Allklasse"]}
+ ]
+ }
]
},
{
"name": "Zahlenbereiche",
"words": [
- {"word": "natürliche Zahlen", "description": "Menge $\\setN:=\\{1,2,...\\}$"},
+ {"word": "natürliche Zahlen", "description": "Menge $\\setN:=\\{1,2,...\\}$", "notes": ["auch geschrieben $\\setN_0$ für $\\{0,1,...\\}$", "formal mit dem Unendlichkeitsaxiom und Aussonderungsschema konstruierbar als Schnittmenge aller induktiver Mengen"]},
{"word": "ganze Zahlen", "description": "Menge $\\setZ:=\\{0,\\pm 1,\\pm 2,...\\}$"},
{"word": "rationale Zahlen", "description": "Menge $\\setQ:=\\{\\frac{m}{n}\\mid m\\in\\setZ,n\\in\\setN\\}$"},
{"word": "reelle Zahlen", "description": "Vervollständigung $\\setR$ der rationalen Zahlen $\\setQ$"},
{"word": "komplexe Zahlen", "description": "algebraischer Abschluss $\\setC$ der rationalen Zahlen $\\setR$, bzw. alle Zahlen der Form $a+bi$ für $a,b\\in\\setR$ mit $i^2:=-1$"},
- {"word": "Peano-Axiome", "description": "grundlegende Axiome der Menge $\\setN_0$, nämlich $0\\in\\setN_0$, $n+1\\in\\setN$ für alle $n\\in\\setN_0$, $n+1=m+1\\Rightarrow n=m$ für alle $n,m\\in\\setN_0$, und $(0\\in X\\land\\forall n\\in\\setN_0:(n\\in X\\Rightarrow n+1\\in X))\\Rightarrow\\setN_0\\subseteq X$"},
+ {"word": "Peano-Axiome", "description": "grundlegende Axiome der Menge $\\setN_0$, nämlich $0\\in\\setN_0$, $n+1\\in\\setN$ für alle $n\\in\\setN_0$, $n+1=m+1\\Rightarrow n=m$ für alle $n,m\\in\\setN_0$, und $(0\\in X\\land\\forall n\\in\\setN_0:(n\\in X\\Rightarrow n+1\\in X))\\Rightarrow\\setN_0\\subseteq X$", "notes": ["folgen in der Mengenlehre direkt aus der Definition von $\\setN_0$ als kleinste induktive Menge, wobei deren Existenz vom Unendlichkeitsaxiom garantiert wird"]},
{"word": "rational"},
{"word": "irrational"},
{"word": "reell"},
@@ -389,11 +435,11 @@
{
"name": "Abbildungen",
"words": [
- {"word": "Abbildung", "synonyms": ["Funktion","Zuordnung"], "description": "Konstrukt das jedem Element $x$ einer Definitionsmenge $X$ ein Element $f(x)$ einer Definitionsmenge $Y$ zuordnet, geschrieben $f:X\\to Y,x\\mapsto f(x)$"},
- {"word": "Definitionsmenge"},
- {"word": "Zielmenge"},
- {"word": "Bild", "description": "Menge $f(A)$ aller Elemente auf die Elemente der Menge $A$ abgebildet werden, auch genannt $\\im(f)$ für das Bild der gesamten Definitionsmenge"},
- {"word": "Urbild", "description": "Menge $f^{-1}(S)$ aller Elemente die auf ein Element von $S$ abgebildet werden"},
+ {"word": "Abbildung", "synonyms": ["Funktion","Zuordnung"], "description": "linkstotale und rechtseindeutige Relation $f\\subseteq X\\times Y$, geschrieben $f:X\\to Y,x\\mapsto f(x)$"},
+ {"word": "Definitionsmenge", "synonyms": ["Quellmenge"], "description": "Menge $X$ für eine Funktion $f:X\\to Y$"},
+ {"word": "Zielmenge", "synonyms": ["Wertebereich"], "description": "Menge $Y$ für eine Funktion $:X\\to Y$"},
+ {"word": "Bild", "description": "Menge $f(A)$ aller Werte auf die Elemente einer Menge $A$ abgebildet werden, für $A=X$ auch geschrieben $\\im(f)$"},
+ {"word": "Urbild", "description": "Menge $f^{-1}(A)$ aller Elemente der Definitionsmenge die auf ein Element von $A$ abgebildet werden"},
{"word": "Faser", "description": "Urbild $f^{-1}(y):=f^{-1}(\\{y\\})$ eines einzelnen Elements der Zielmenge"},
{"word": "Kern", "description": "Urbild $\\ker(f):=f^{-1}(\\{0\\})$ des Nullelements der auf der Zielmenge definierten Struktur"},
{"word": "Einschränkung", "description": "Abbildung $\\restrict f_A:A\\to f(A),x\\mapsto f(a)$ für eine Abbildung $f:X\\to Y$ und eine Teilmenge $A\\subseteq X$"},
@@ -421,7 +467,7 @@
{
"name": "Relationen",
"words": [
- {"word": "Relation", "description": "Menge $R\\subseteq M^n$ von Tupeln von je $n$ Elementen von $M$ die miteinander in Verbindung stehen, für $n=2$ geschrieben $a\\sim b:\\Leftrightarrow(a,b)\\in R$"},
+ {"word": "Relation", "description": "Menge $R\\subseteq A_1\\times...\\times A_n$ von Tupeln von je $n$ Elementen $a_i\\in A_i$ die von dieser miteinander in Verbindung gesetzt werden, für $n=2$ geschrieben $a\\sim b:\\Leftrightarrow(a,b)\\in R$"},
{"word": "Stelligkeit", "description": "Anzahl der Elemente die eine Relation jeweils miteinander in Verbindung setzt"},
{"word": "zweistellig", "synonyms": ["zweistellige Relation", "binäre Relation"], "description": "Relation zwischen je zwei Elementen"},
{"word": "reflexiv", "description": "Relation $\\sim$ mit $a\\sim a$ für alle $a$, zum Beispiel $=$"},
@@ -441,7 +487,13 @@
{"word": "Äquivalenzklasse", "description": "Menge $[x]$ aller bezüglich einer Äquivalenzrelation zu $x$ bzw. zueinander in Verbindung stehender Elemente"},
{"word": "Repräsentant", "description": "einzelnes Element einer Äquivalenzklasse"},
{"word": "Repräsentantensystem", "description": "Teilmenge einer Menge, die genau ein Element jeder Äquivalenzklasse enthält"},
- {"word": "Quotient", "description": "Menge $M/\\sim$ der Äquivalenzklassen, in die $M$ durch $\\sim$ zerlegt wird"}
+ {"word": "Quotient", "description": "Menge $M/\\sim$ der Äquivalenzklassen, in die $M$ durch $\\sim$ zerlegt wird"},
+ {"word": "linkstotal", "description": "Relation $\\sim$ wenn zu jedem $a\\in A$ ein $b\\in B$ mit $a\\sim b$ existiert"},
+ {"word": "rechtstotal", "description": "Relation $\\sim$ wenn zu jedem $b\\in B$ ein $a\\in A$ mit $a\\sim b$ existiert"},
+ {"word": "bitotal", "description": "Relation $\\sim$ die links- und rechtstotal ist, d.h. für die zu jedem $a\\in A$ ein $b\\in B$ mit $a\\sim b$ existiert und umgekehrt"},
+ {"word": "linkseindeutig", "description": "Relation $\\sim$ wenn zu jedem $b\\in B$ höchstens ein $a\\in A$ mit $a\\sim b$ existiert"},
+ {"word": "rechtseindeutig", "description": "Relation $\\sim$ wenn zu jedem $a\\in A$ höchstens ein $b\\in B$ mit $a\\sim b$ existiert"},
+ {"word": "eineindeutig", "description": "Relation $\\sim$ die links- und rechtseindeutig ist, d.h. für die zu jedem $b\\in B$ höchstens ein $a\\in A$ mit $a\\sim b$ existiert und umgekehrt"}
]
},
{
@@ -1839,16 +1891,16 @@
{
"from": "Mengenlehre",
"words": [
- "Mengenlehre",
- "Menge",
+ {"word": "Mengenlehre", "description": "Studium von Mengen als axiomatische Grundlage der gesamten Mathematik"},
+ {"word": "Menge", "description": "gedachte Zusammenfassung von Objekten zu einem ganzen"},
"Familie",
- "Tupel",
- "Paar",
+ {"word": "Tupel", "description": "Familie mit der Indexmenge $I=\\{1,2,...,n\\}$ für ein $n\\in\\setN$, geschrieben $(a_1,a_2,...,a_n)$"},
+ {"word": "Paar", "description": "Tupel mit zwei Elementen"},
"Tripel",
"Quadrupel",
"Folge",
- "Element",
- "Russelsches Paradoxon",
+ {"word": "Element", "description": "Objekt $x$ das in einer Menge $M$ enthalten ist, geschrieben $x\\in M$"},
+ {"word": "Russelsches Paradoxon", "description": "Paradoxon der \"Menge\" aller Mengen die sich nicht selbst enthalten"},
"leere Menge",
"Teilmenge",
"echte Teilmenge",
@@ -1860,7 +1912,6 @@
"Differenzmenge",
"Produktmenge",
"Potenzmenge",
- "externe disjunkte Vereinigung",
"Mächtigkeit",
"gleichmächtig",
"mächtiger",
@@ -1923,11 +1974,11 @@
{
"from": "Abbildungen",
"words": [
- "Abbildung",
+ {"word": "Abbildung", "description": "Konstrukt das jedem Element $x$ einer Definitionsmenge $X$ ein Element $f(x)$ einer Ziel $Y$ zuordnet, geschrieben $f:X\\to Y,x\\mapsto f(x)$"},
"Definitionsmenge",
"Zielmenge",
- "Bild",
- "Urbild",
+ {"word": "Bild", "description": "Menge $f(A)$ aller Elemente auf die Elemente der Menge $A$ abgebildet werden, auch genannt $\\im(f)$ für das Bild der gesamten Definitionsmenge"},
+ {"word": "Urbild", "description": "Menge $f^{-1}(S)$ aller Elemente die auf ein Element von $S$ abgebildet werden"},
"Faser",
"Kern",
"Einschränkung",
@@ -4023,7 +4074,7 @@
]
},
{
- "from": "Mengenlehre",
+ "from": "Mengenlehre>Klassen",
"words": [
"Klasse",
{"word": "echt", "relevance": 0.2}
@@ -4104,15 +4155,15 @@
"Beweis",
"beweisbar",
"widerspruchsvoll",
- "widerspruchsfrei",
- "Vollständigkeitssatz",
- "Erfüllbarkeitslemma",
- "Terminterpretation"
+ "widerspruchsfrei"
]
},
{
"from": "Logik>Prädikatenlogik",
"words": [
+ "Vollständigkeitssatz",
+ "Erfüllbarkeitslemma",
+ "Terminterpretation",
"Endlichkeitssatz",
"erststufig axiomatisierbar",
"Satz von Löwenheim-Skolem"
@@ -4183,6 +4234,197 @@
]
}
]
+ },
+ {
+ "name": "Extra: formale Mengenlehre",
+ "defaultRelevance": 0.55,
+ "words": [
+ {
+ "from": "Mengenlehre",
+ "words": [
+ "Mengenlehre",
+ "naive Mengenlehre",
+ "Menge",
+ "Element",
+ {"word": "Urelement", "relevance": 0.2}
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Logik>Kalküle",
+ "words": [
+ "Theorie",
+ "deduktiv abgeschlossen",
+ "Axiomensystem",
+ "Axiomenschema"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre>Axiome",
+ "words": [
+ "Extensionalitätsaxiom",
+ "Aussonderungsschema",
+ "Komprehensionsschema"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre",
+ "words": [
+ "Russelsches Paradoxon"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre>Klassen",
+ "words": [
+ "Klasse",
+ "echt",
+ "Allklasse",
+ "Russelsche Klasse"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre",
+ "words": [
+ "leere Menge"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre>Axiome",
+ "words": [
+ "Leermengenaxiom",
+ "Paarmengenaxiom"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre",
+ "words": [
+ "einelementig",
+ "zweielementig",
+ "Paar",
+ "Familie",
+ "Tupel",
+ "Tripel",
+ "Quadrupel"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre>Axiome",
+ "words": [
+ "Vereinigungsaxiom"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre",
+ "words": [
+ "Vereinigung",
+ "Schnittmenge",
+ "Differenzmenge",
+ "Teilmenge",
+ "echte Teilmenge",
+ "unechte Teilmenge"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre>Axiome",
+ "words": [
+ "Potenzmengenaxiom"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre",
+ "words": [
+ {"word": "Potenzmenge", "relevance": 1},
+ {"word": "Skolemsches Paradoxon", "relevance": 0.8},
+ {"word": "Produktmenge", "relevance": 1}
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Relationen",
+ "words": [
+ "Relation",
+ "Stelligkeit",
+ "zweistellig",
+ {"word": "linkstotal", "relevance": 0.4},
+ {"word": "rechtstotal", "relevance": 0.4},
+ {"word": "bitotal", "relevance": 0.2},
+ {"word": "linkseindeutig", "relevance": 0.4},
+ {"word": "rechtseindeutig", "relevance": 0.4},
+ {"word": "eineindeutig", "relevance": 0.2}
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Abbildungen",
+ "words": [
+ {"word": "Abbildung", "relevance": 1},
+ "Definitionsmenge",
+ "Zielmenge",
+ "Bild",
+ "Urbild"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre>Axiome",
+ "words": [
+ "Unendlichkeitsaxiom"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre",
+ "words": [
+ "induktiv"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Zahlenbereiche",
+ "words": [
+ "natürliche Zahlen",
+ {"word": "Peano-Axiome", "relevance": 0.3}
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre",
+ "words": [
+ "transitiv"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre>Axiome",
+ "words": [
+ "Ersetzungsschema",
+ "Regularitätsaxiom"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre",
+ "words": [
+ "transitive Hülle",
+ "erblich endlich"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre>Axiome",
+ "words": [
+ "Auswahlaxiom"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre",
+ "words": [
+ "Auswahlfunktion",
+ "AC",
+ "ZF",
+ "ZFC",
+ "Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre",
+ "Grothendieck-Universum",
+ "Tarski-Grothendieck-Mengenlehre"
+ ]
+ },
+ {
+ "from": "Mengenlehre>Axiome",
+ "words": [
+ "Axiom der unerreichbaren Mengen"
+ ]
+ }
+ ]
}
]
}
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