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Ben Eltschig authoredUnverifiedc389b89a
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Skribbl.json 47.19 KiB
{
"macros": {
"\\id": "\\textrm{id}",
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"\\cok": "\\textrm{cok}",
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"\\Hom": "\\textrm{Hom}",
"\\End": "\\textrm{End}",
"\\Aut": "\\textrm{Aut}",
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"words": [
{
"type": "topic",
"name": "Aussagenlogik",
"words": [
{"word": "Logik"},
{"word": "Aussagenlogik"},
{"word": "Aussage"},
{"word": "wahr"},
{"word": "falsch"},
{"word": "wahre Aussage"},
{"word": "falsche Aussage"},
{"word": "Tautologie"},
{"word": "Widerspruch"},
{"word": "Junktor"},
{"word": "Wahrheitstabelle"},
{"word": "nicht"},
{"word": "und"},
{"word": "oder"},
{"word": "entweder oder"},
{"word": "äquivalent"},
{"word": "genau dann wenn"},
{"word": "Negation"},
{"word": "De Morgan'sche Regeln", "description": "Tautologien $\\neg(A\\land B)\\Leftrightarrow(\\neg A)\\lor(\\neg B)$, $\\neg(A\\lor B)\\Leftrightarrow(\\neg A)\\land(\\neg B)$"},
{"word": "Idempotenz", "description": "Tautologien $A\\land A\\Leftrightarrow A$, $A\\lor A\\Leftrightarrow A$"},
{"word": "Beweis"},
{"word": "direkter Beweis"},
{"word": "indirekter Beweis"},
{"word": "Beweis durch Widerspruch"},
{"word": "Kontraposition"},
{"word": "Fallunterscheidung"},
{"word": "Beweisschritt"},
{"word": "Prädikatenlogik", "description": "Aussagenlogik bezüglich von Parametern abhängiger Aussagen"},
{"word": "Quantor"},
{"word": "Allquantor"},
{"word": "Existenzquantor"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Mengenlehre",
"words": [
{"word": "Mengenlehre"},
{"word": "Menge"},
{"word": "Familie", "description": "Konstrukt das jedem Element einer Indexmenge einen Wert zuordnet, geschrieben $(a_i)_{i\\in I}$"},
{"word": "Tupel", "description": "Familie mit der Indexmenge $I=\\{1,2,...,n\\}$ für ein $n\\in\\mathbb{N}$, geschrieben $(a_1,a_2,...,a_n)$"},
{"word": "Paar", "description": "Tupel mit zwei Elementen"},
{"word": "Tripel", "description": "Tupel mit drei Elementen"},
{"word": "Quadrupel", "description": "Tupel mit vier Elementen"},
{"word": "Element"},
{"word": "Russelsches Paradoxon", "description": "Paradoxon der \"Menge\" aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten"},
{"word": "leere Menge"},
{"word": "Teilmenge"},
{"word": "echte Teilmenge"},
{"word": "unechte Teilmenge"},
{"word": "Schnittmenge", "synonyms": ["Durchschnitt"]},
{"word": "Vereinigung"},
{"word": "disjunkte Vereinigung"}, {"word": "disjunkt"},
{"word": "Differenzmenge", "synonyms": ["Komplement"]},
{"word": "Produktmenge", "synonyms": ["Produkt"]},
{"word": "Potenzmenge", "description": "Menge $\\mathcal{P}(A)$ aller Teilmengen einer Menge $A$"},
{"word": "externe disjunkte Vereinigung", "description": "$\\bigsqcup_{i\\in I}M_i:=\\bigcup_{i\\in I}M_i\\times\\{i\\}$"},
{"word": "Mächtigkeit", "synonyms": ["Kardinalität"], "description": "für endliche Mengen $A$ Anzahl $|A|=\\#A=\\textrm{card}(A)$ ihrer Elemente, für unendliche Mengen Äquivalenzklasse bezüglich Gleichmächtigkeit"},
{"word": "gleichmächtig", "description": "Mengen $A,B$ zwischen denen eine Bijektion besteht, geschrieben $|A|=|B|$"},
{"word": "mächtiger", "description": "Menge $A$ im Vergleich zu einer Menge $B$, wenn $B$ zu einer Teilmenge von $A$ aber nicht zu $A$ selbst gleichmächtig ist, geschrieben $|A|>|B|$"},
{"word": "abzählbar", "description": "Menge $A$ mit $|A|=|\\mathbb{N}|$"},
{"word": "überabzählbar", "description": "Menge $A$ mit $|A|>|\\mathbb{N}|$"},
{"word": "Kontinuumshypothese", "description": "es gibt keine Menge $A$ mit $|\\mathbb{N}|<|A|<|\\mathbb{R}|$"},
{"word": "Cantors erstes Diagonalargument", "description": "Beweis der Abzählbarkeit von $\\mathbb{N}^2$ durch diagonales Ablaufen der Gitterpunkte"},
{"word": "Cantors zweites Diagonalargument", "description": "Beweis der Überabzählbarkeit von $\\mathbb{R}$ durch Konstruktion einer nicht in der Folge vorkommenden Zahl für jede reelle Folge"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Abbildungen",
"words": [
{"word": "Abbildung", "synonyms": ["Funktion","Zuordnung"], "description": "Konstrukt das jedem Element $x$ einer Definitionsmenge $X$ ein Element $f(x)$ einer Definitionsmenge $Y$ zuordnet, geschrieben $f:X\\rightarrow Y,x\\mapsto f(x)$"},
{"word": "Definitionsmenge"},
{"word": "Zielmenge"},
{"word": "Bild", "description": "Menge $f(A)$ aller Elemente auf die Elemente der Menge $A$ abgebildet werden, auch genannt $\\im(f)$ für das Bild der gesamten Definitionsmenge"},
{"word": "Urbild", "description": "Menge $f^{-1}(S)$ aller Elemente die auf ein Element von $S$ abgebildet werden"},
{"word": "Faser", "description": "Urbild $f^{-1}(y):=f^{-1}(\\{y\\})$ eines einzelnen Elements der Zielmenge"},
{"word": "Kern", "description": "Urbild $\\ker(f):=f^{-1}(\\{0\\})$ des Nullelements der auf der Zielmenge definierten Struktur"},
{"word": "Einschränkung"},
{"word": "surjektiv"},
{"word": "injektiv"},
{"word": "bijektiv", "synonyms": ["Bijektion"], "description": "Abbildung $f:X\\rightarrow Y$, die jedes $y\\in Y$ genau einem $x\\in X$ zuordnet"},
{"word": "Schubfachprinzip", "description": "Prinzip, dass Zuordnungen zwischen endlichen Mengen $X$ und $Y$ nicht surjektiv sind falls $|X|<|Y|$ ist, nicht injektiv falls $|X|>|Y|$ ist, und nur entweder bijektiv oder weder injektiv noch surjektiv falls $|X|=|Y|$ ist"},
{"word": "Verkettung", "synonyms": ["Komposition"], "description": "Abbildung $f\\circ g:X\\rightarrow Z,x\\mapsto f(g(x))$ für Abbildungen $g:X\\rightarrow Y,f:Y\\rightarrow Z$"},
{"word": "Identitätsabbildung", "synonyms": ["Identitätsfunktion"], "description": "Abbildung $\\id_X:X\\rightarrow X,x\\mapsto x$ für eine Menge $X$"},
{"word": "linksinvers", "description": "Funktion $g:Y\\rightarrow X$ zu einer Funktion $f:X\\rightarrow Y$, wenn $g\\circ f=\\id_X$ gilt"},
{"word": "rechtsinvers", "description": "Funktion $g:Y\\rightarrow X$ zu einer Funktion $f:X\\rightarrow Y$, wenn $f\\circ g=\\id_Y$ gilt"},
{"word": "invers", "synonyms": ["Umkehrabbildung","Umkehrfunktion"], "description": "links- und rechtsinverse Funktion $f^{-1}$ zu einer Funktion $f$"},
{"word": "Auswahlaxiom", "description": "Axiom, dass für jede Menge von nichtleeren Mengen eine Funktion existiert, die jede dieser Mengen auf eins ihrer Elemente abbildet"},
{"word": "Banach-Tarski-Paradoxon", "description": "Paradoxon, dass sich eine Kugel im $\\mathbb{R}^3$ mithilfe des Auswahlaxioms so in endlich viele Teilmengen zerlegen lässt, dass aus diesen zwei neue Kugeln zusammengesetzt werden können"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Relationen",
"words": [
{"word": "Relation", "description": "Menge $R\\subseteq M^n$ von Tupeln von je $n$ Elementen von $M$ die miteinander in Verbindung stehen, für $n=2$ geschrieben $a\\sim b:\\Leftrightarrow(a,b)\\in R$"},
{"word": "binäre Relation", "description": "Relation zwischen je zwei Elementen "},
{"word": "reflexiv", "description": "Relation $\\sim$ mit $a\\sim a$ für alle $a$"},
{"word": "symmetrisch", "description": "Relation $\\sim$ mit $a\\sim b\\Leftrightarrow b\\sim a$"},
{"word": "transitiv", "description": "Relation $\\sim$ mit $a\\sim b\\land b\\sim c\\Leftrightarrow a\\sim c$"},
{"word": "Äquivalenzrelation", "description": "Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist"},
{"word": "kongruent"},
{"word": "Kongruenz"},
{"word": "ähnlich"},
{"word": "teilbar"},
{"word": "modulo"},
{"word": "Äquivalenzklasse", "description": "Menge $[x]$ aller bezüglich einer Äquivalenzrelation zu $x$ bzw. zueinander in Verbindung stehender Elemente"},
{"word": "Repräsentant", "description": "einzelnes Element einer Äquivalenzklasse"},
{"word": "Repräsentantensystem", "description": "Teilmenge einer Menge, die genau ein Element jeder Äquivalenzklasse enthält"},
{"word": "Quotient", "description": "Menge $M/\\sim$ der Äquivalenzklassen, in die $M$ durch $\\sim$ zerlegt wird"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Ordnungsrelationen",
"words": [
{"word": "Ordnungsrelation"},
{"word": "partielle Ordnung", "description": "reflexive und transitive Relation $\\preceq$ mit $(a\\preceq b)\\land(b\\preceq a)\\Leftrightarrow a=b$"},
{"word": "Antisymmetrie"},
{"word": "totale Ordnung", "description": "partielle Ordnung mit $a\\preceq b$ oder $b\\preceq a$ für alle $a,b$"},
{"word": "vergleichbar"}, {"word": "Vergleichbarkeit"},
{"word": "Hasse-Diagramm", "description": "Darstellungsform von Ordnungsrelationen auf endlichen Mengen"},
{"word": "größtes Element"},
{"word": "maximales Element"},
{"word": "kleinstes Element"},
{"word": "minimales Element"},
{"word": "Wohlordnung", "description": "totale Ordnung auf einer Menge $M$ mit der Eigenschaft, dass jede Teilmenge von $M$ ein kleinstes Element besitzt"},
{"word": "Inklusion", "description": "Beziehung $\\subseteq$ zwischen Mengen, kann als partielle Ordnung auf einer Potenzmenge aufgefasst werden"},
{"word": "Kette", "description": "Menge $S\\subseteq\\mathcal{P}(M)$ von Teilmengen einer Menge $M$ die bezüglich Inklusion total geordnet ist, bzw. allgemeiner total geordnete Teilmenge einer partiell geordneten Menge"},
{"word": "Zorn's Lemma", "description": "jede nichtleere Menge $S\\subseteq\\mathcal{P}(M)$ von Teilmengen einer Menge $M$ mit der Eigenschaft dass die Vereinigungsmenge jeder Kette $K\\subseteq S$ auch in $S$ liegt besitzt ein bezüglich Inklusion maximales Element; Folgerung aus dem Auswahlaxiom"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Induktion",
"words": [
{"word": "Induktion"},
{"word": "vollständige Induktion"},
{"word": "induktiv"},
{"word": "Induktionsanfang"},
{"word": "Induktionsvoraussetzung"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Verknüpfungen",
"words": [
{"word": "Verknüpfung", "description": "Abbildung, die jedem Tupel $(a,b)\\in M\\times M$ ein weiteres Element aus $M$ zuordnet, bezeichnet $a\\circ b$, allgemeiner auch auf verschiedenen Mengen $M_1,M_2,...,M_n$ definiertbar"},
{"word": "assoziativ", "description": "Verknüpfung $\\circ$ mit $(a\\circ b)\\circ c=a\\circ(b\\circ c)$"},
{"word": "kommutativ", "description": "Verknüpfung $\\circ$ mit $a\\circ b=b\\circ a$"},
{"word": "distributiv", "description": "Verknüpfungen $+,\\cdot$ mit $a\\cdot(b+c)=(a\\cdot b)+(a\\cdot c)$ sowie $(a+b)\\cdot c=(a\\cdot c)+(b\\cdot c)$ für alle $a,b,c$"},
{"word": "Assoziativgesetz", "description": "$(a\\circ b)\\circ c=a\\circ(b\\circ c)$ für eine passende Verknüpfung $\\circ$"},
{"word": "Kommutativgesetz", "description": "$a\\circ b=b\\circ a$ für eine passende Verknüpfung $\\circ$"},
{"word": "Distributivgesetz", "description": "$a\\cdot(b+c)=(a\\cdot b)+(a\\cdot c)$ sowie $(a+b)\\cdot c=(a\\cdot c)+(b\\cdot c)$ für passende Verknüpfungen $+,\\cdot$"},
{"word": "Verknüpfungstafel", "description": "Darstellungsform von Verknüpfungen auf endlichen Mengen"},
{"word": "punktweise", "description": "Verknüpfung von Abbildungen die über eine Verknüpfung der Werte an einzelnen Punkte definiert wird, z.B. $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ für eine Verknüpfung $+$ auf der Zielmenge"},
{"word": "repräsentantenweise", "description": "Verknüpfung von Äquivalenzklassen die über eine Verknüpfung der Repräsentanten definiert wird, z.B. $[a]+[b]:=[a+b]$"},
{"word": "komponentenweise", "description": "Verknüpfung von z.B. Tupeln, Spaltenvektoren oder Matrizen die über eine Verknüpfung der einzelnen Einträge definiert wird, also z.B. $(a_1,a_2,...,a_n)+(b_1,b_2,...,b_n):=(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)$"},
{"word": "gliedweise", "description": "Verknüpfung von z.B. Folgen oder Reihen die über eine Verknüpfung der einzelnen Folgen- oder Reihenglieder definiert wird, also z.B. $(a_n)_{n\\in\\mathbb{N}}+(b_n)_{n\\in\\mathbb{N}}=(a_n+b_n)_{n\\in\\mathbb{N}}$"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Strukturen",
"words": [
{"word": "algebraische Struktur", "description": "Menge mit darauf definierten Verknüpfungen, z.B. Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume und Algebren"},
{"word": "Unterstruktur", "description": "Teilmenge eine algebraischen Struktur die unter den darauf definierten Verknüpfungen abgeschlossen ist"},
{"word": "Homomorphismus", "description": "Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen die die jeweilige Struktur erhält"},
{"word": "Monomorphismus", "description": "injektiver Homomorphismus, geschrieben mit $\\hookrightarrow$"},
{"word": "Epimorphismus", "description": "surjektiver Homomorphismus, geschrieben mit $\\twoheadrightarrow$"},
{"word": "Isomorphismus", "description": "bijektiver Homomorphismus, geschrieben mit $\\overset{\\sim}{\\rightarrow}$"},
{"word": "isomorph", "description": "algebraische Strukturen zwischen denen ein Isomorphismus existiert, geschrieben $\\simeq$"},
{"word": "Endomorphismus", "description": "Homomorphismus einer Struktur auf sich selbst"},
{"word": "Automorphismus", "description": "Isomorphismus einer Struktur auf sich selbst"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Gruppen",
"words": [
{"word": "Gruppentheorie"},
{"word": "Halbgruppe", "description": "Menge $M$ mit assoziativer Verknüpfung $\\circ$"},
{"word": "abelsch", "description": "Gruppe oder Halbgruppe mit einer kommutativen Verknüpfung"},
{"word": "abelsche Halbgruppe"},
{"word": "linksneutral", "description": "Element $e\\in M$ mit $e\\circ a=a$ für alle $a\\in M$"},
{"word": "linksneutral", "description": "Element $e\\in M$ mit $a\\circ e=a$ für alle $a\\in M$"},
{"word": "neutrales Element", "description": "Element, das sowohl links- als auch rechtsneutral ist"},
{"word": "Monoid", "description": "Halbgruppe mit neutralem Element"},
{"word": "linksinvers", "description": "Element $b\\in M$ mit $b\\circ a=e_M$ für ein $a\\in M$"}, {"word": "rechtsinvers", "description": "Element $b\\in M$ mit $a\\circ b=e_M$ für ein $a\\in M$"},
{"word": "invers", "description": "Element $b\\in M$ mit $b\\circ a=a\\circ b=e_M$ für ein $a\\in M$"},
{"word": "Inverses", "description": "zu $a\\in M$ inverses Element $a^{-1}$"},
{"word": "Gruppe", "description": "Monoid mit Inversem zu jedem Element"},
{"word": "kommutative Gruppe"},
{"word": "abelsche Gruppe"},
{"word": "Kürzungsregel", "description": "$x=y\\Leftrightarrow c\\circ x=c\\circ y\\Leftrightarrow x\\circ c=y\\circ c$, gilt in allen Gruppen, Integritätsringen und Körpern"},
{"word": "Untergruppe", "description": "nichtleere Teilmenge $H$ einer Gruppe mit $ab^{-1}\\in H$ für alle $a,b\\in H$"},
{"word": "triviale Untergruppen", "description": "$\\{e\\}$ und die Gruppe selbst"},
{"word": "Ordnung", "description": "Anzahl $|G|$ der Elemente einer endlichen Gruppe $G$, bzw. Ordnung $\\textrm{ord}(g):=|\\langle g\\rangle|$ der von $g\\in G$ erzeugten zyklischen Untergruppe"},
{"word": "Satz von Lagrange", "description": "für jede Untergruppe $H$ einer endlichen Gruppe $G$ teilt $|H|$ $|G|$"},
{"word": "zyklische Untergruppe", "description": "Untergruppe $\\langle g\\rangle:=\\{g^n\\mid n\\in\\mathbb{Z}\\}\\subseteq G$ für ein $g\\in G$, analog zum Aufspann eines Vektors"},
{"word": "zyklisch", "description": "Gruppe $G$ mit $\\langle g\\rangle=G$ für ein $g\\in G$"},
{"word": "erzeugte Untergruppe", "description": "Untergruppe $\\langle S\\rangle:=\\{s_1^{e_1}...s_n^{e_n}\\mid n\\in\\mathbb{N}_0,s_i\\in S,e_i\\in\\mathbb{Z}\\}$ für eine Menge $S\\subseteq G$, analog zum Aufspann einer Menge"},
{"word": "Gruppenhomomorphismus", "description": "Abbildung $\\varphi$ zwischen zwei Gruppen $H$ und $G$, mit $\\varphi(ab)=\\varphi(a)\\varphi(b)$"},
{"word": "Diedergruppe", "description": "Gruppe $D_n$ aller Isometrien in der Ebene, die ein regelmäßiges $n$-Eck auf sich selbst abbilden"},
{"word": "Quotient", "description": "Menge $G/K:=G/\\sim$ aller Äquivalenzklassen bezüglich der Relation $a\\sim b:\\Leftrightarrow a-b\\in K$ für abelsche Gruppen $K\\subseteq G$"},
{"word": "Quotientenabbildung", "description": "Epimorphismus $p:G\\twoheadrightarrow G/K,a\\mapsto[a]$ für abelsche Gruppen $K\\subseteq G$"},
{"word": "kommutieren", "description": "Diagramm von Homomorphismen, wenn die Verkettung entlang aller Pfade zwischen zwei Mengen jeweils dieselbe Abbildung ergibt"},
{"word": "kommutatives Diagramm", "description": "Diagramm von Homomorphismen, bei dem die Verkettung entlang aller Pfade zwischen zwei Mengen jeweils dieselbe Abbildung ergibt"},
{"word": "Konjugation", "description": "Linksmultiplikation mit dem Inversen eines Elements und Rechtsmultiplikation mit dem Element selbst, also z.B. $g^{-1}ag$"},
{"word": "Konjugationsabbildung", "description": "Automorphismus $c_g:G\\rightarrow G,a\\mapsto g^{-1}ag$ für ein $g\\in G$"},
{"word": "normal", "synonyms": ["normale Untergruppe", "Normalteiler"], "description": "Untergruppe $K\\subseteq G$ mit $c_g(K)\\subseteq K$ für alle $g\\in G$, geschrieben $K\\unlhd G$"},
{"word": "konjugierte Untergruppe", "description": "Untergruppe $c_g(K)=c^{-1}Kc$ für eine Untergruppe $K\\subseteq G$ und ein $g\\in G$"},
{"word": "Homomorphiesatz für Gruppen", "description": "für jeden Gruppenhomomorphismus $f:G\\rightarrow H$ ist $\\ker(f)$ ein Normalteiler von $G$ und $p\\circ\\overline{f}=f$ für die Quotientenabbildung $p:G\\twoheadrightarrow G/\\ker(f)$ und genau einen Isomorphismus $\\overline{f}$"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Permutationen",
"words": [
{"word": "Permutation", "description": "bijektive Abbildung des Tupels $(1,2,...,n)$ auf sich selbst, also Umordnung von $n$ Objekten"},
{"word": "symmetrische Gruppe", "description": "Gruppe aller Permutationen von $n$ Elementen bezüglich der Verkettung"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Ringe",
"words": [
{"word": "Ring", "description": "Tripel $(R,+,\\cdot)$, sodass $(R,+)$ eine Gruppe sowie $(R,\\cdot)$ ein Monoid ist und das Distributivgesetz gilt"},
{"word": "kommutativer Ring", "description": "Ring $(R,+,\\cdot)$ mit kommutativem $\\cdot$"},
{"word": "Nullelement", "synonyms": ["Null"], "description": "neutrales Element der additiven Gruppe, zwangsläufig auch absorbierendes Element der multiplikativen"},
{"word": "Einselement", "synonyms": ["Eins"], "description": "neutrales Element einer multiplikativen Gruppe"},
{"word": "Nullring", "description": "Ring mit der Null als einziges Element"},
{"word": "Einheit", "description": "multiplikativ invertierbares Element eines Rings"},
{"word": "Einheitengruppe", "description": "Gruppe $(R^\\times,\\cdot)$ der multiplikativ invertierbaren Elemente eines Rings $(R,+,\\cdot)$"},
{"word": "Teilring", "description": "Teilmenge $S\\subseteq R$ eines Rings die unter Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen ist und die Eins enthält"},
{"word": "Ringhomomorphismus", "description": "Abbildung $\\varphi:R\\rightarrow S$ mit $\\varphi(1_R)=1_S$ sowie $\\varphi(a+b)=\\varphi(a)+\\varphi(b)$ und $\\varphi(a\\cdot b)=\\varphi(a)\\cdot\\varphi(b)$ für alle $a,b\\in R$"},
{"word": "Charakteristik", "description": "kleinstes $n\\in\\mathbb{N}$ das vom Homomorphismus $\\varphi_R:\\mathbb{Z}\\rightarrow R$ abgebildet wird, oder 0 falls kein solches $n$ existiert"},
{"word": "Integritätsring", "description": "kommutativer Ring $R$ mit $ab\\neq 0$ für alle $a,b\\in R\\setminus\\{0\\}$, erlaubt Kürzen in Gleichungen"},
{"word": "Bézout-Identität", "description": "für alle $a,n\\in\\mathbb{Z}$ existieren $x,y\\in\\mathbb{Z}$ mit $\\textrm{ggT}(a,n)=ax+ny$"},
{"word": "Euklidischer Algorithmus", "description": "Algorithmus zur Berechnung des ggT mithilfe von Division mit Rest"},
{"word": "euklidisch", "synonyms": ["Euklidischer Ring"], "description": "Integritätsring $R$ mit einer Gradfunktion $\\delta:R\\setminus\\{0\\}\\rightarrow\\mathbb{N}_0$"},
{"word": "Gradfunktion", "description": "Abbildung $\\delta:R\\setminus\\{0\\}\\rightarrow\\mathbb{N}_0$ auf einem Integritätsring $R$, sodass für alle $x,y\\in R$ mit $y\\neq 0$ Elemente $q,r\\in R$ existieren mit $x=qy+r$ und $\\delta(r)<\\delta(y)$ oder $\\delta=0$"},
{"word": "Ideal", "description": "additive Untergruppe $I\\in R$ mit $ar\\in I$ und $ra\\in R$ für alle $a\\in I,r\\in R$, geschrieben $I\\lhd R$"},
{"word": "Quotientenring", "description": "Ring $R/I$ für einen Ring $R$ und ein Ideal $I$"},
{"word": "Hauptideal", "description": "Ideal $cR$ für einen kommutativen Ring $R$ und ein $c\\in R$"},
{"word": "Homomorphiesatz für Ringe", "description": "für jeden Homomorphismus $\\varphi: R\\rightarrow S$ mit einem Ideal $I\\subseteq\\ker(\\varphi)\\subseteq R$ existiert genau ein $\\overline{\\varphi}$ mit $\\overline{\\varphi}\\circ =\\varphi$ für die Quotientenabbildung $p:R\\twoheadrightarrow R/I$"},
{"word": "Hauptidealring", "description": "Integritätsring in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, z.B. $\\mathbb{Z}$ oder Polynomringe von Körpern"},
{"word": "noethersch", "synonyms": ["noetherscher Ring"], "description": "Ring, der keine unendliche echt aufsteigende Kette von Idealen bezüglich Inklusion enthält, also keine Folge von Idealen $I_i$ mit $I_i\\subsetneq I_{i+1}$ für alle $i\\in\\mathbb{N}$"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"} ]
},
{
"type": "topic",
"name": "Teilbarkeit",
"words": [
{"word": "assoziiert", "description": "Elemente $a,b\\in R$ eines Integritätsrings $R$ mit $a=bc$ für ein $c\\in R^\\times$, geschrieben $a\\sim b$"},
{"word": "Teiler", "description": "Element $a\\in R$ für ein $b\\in R$ eines Integritätsrings mit $b=ac$ für ein $c\\in R$, geschrieben $a\\mid b$"},
{"word": "prim", "synonyms": ["Primelement"], "description": "Element $p\\not\\in R^\\times\\cup\\{0\\}$ eines Integritätsrings $R$ mit $p\\mid ab\\Rightarrow p\\mid a\\lor p\\mid b$ für alle $a,b\\in R$"},
{"word": "Primzahl", "description": "positives Primelement des Ringes $\\mathbb{Z}$, also Zahl $p\\in\\mathbb{N}\\setminus\\{1\\}$ mit $p\\mid ab\\Rightarrow p\\mid a\\lor p\\mid b$ für alle $a,b\\in\\mathbb{Z}$"},
{"word": "irreduzibel", "synonyms": ["irreduzibles Element"], "description": "Element $p\\not\\in R^\\times\\cup\\{0\\}$ eines Integritätsrings $R$ mit $p=ab\\Rightarrow a\\in R^\\times\\lor b\\in R^\\times$ für alle $a,b\\in R$"},
{"word": "Primfaktorzerlegunng", "description": "Faktorisierung eines Elements $a\\in R\\setminus\\{0\\}$ eines Hauptidealrings $R$ als Produkt einer Einheit mit Potenzen von Elementen eines Repräsentantensystems der Primelemente von $R$ bezüglich Assoziierheit"},
{"word": "größter gemeinsamer Teiler", "description": "Produkt $\\textrm{kgV}(a_1,...,a_n):=\\prod_{p\\in\\mathcal{P}}p^{e_p}$ mit $e_p:=\\min\\left\\{n\\in\\mathbb{N}_0\\mid\\forall i\\in(1,...,n):(p^n\\mid a_i)\\right\\}$ für einen Hauptidealring $R$, ein Repräsentensystem $\\mathcal{P}$ von dessen Primelementen modulo Assoziiertheit und Elemente $a_1,...,a_n\\in R\\setminus\\{0\\}$, eindeutig bis auf eine Einheit als Faktor je nach Wahl von $\\mathcal{P}$"},
{"word": "kleinstes gemeinsames Vielfaches", "description": "Produkt $\\textrm{ggT}(a_1,...,a_n):=\\prod_{p\\in\\mathcal{P}}p^{e_p}$ mit $e_p:=\\max\\left\\{n\\in\\mathbb{N}_0\\mid\\exists i\\in(1,...,n):(p^n\\mid a_i)\\right\\}$ für einen Hauptidealring $R$, ein Repräsentensystem $\\mathcal{P}$ von dessen Primelementen modulo Assoziiertheit und Elemente $a_1,...,a_n\\in R\\setminus\\{0\\}$, eindeutig bis auf eine Einheit als Faktor je nach Wahl von $\\mathcal{P}$"},
{"word": "kongruent", "description": "Elemente $a,b\\in R$ eines Rings mit $a-b\\in I$ für ein Ideal $I$, geschrieben $a\\equiv b \\mod I$ bzw. $a\\equiv b \\mod n:\\Leftrightarrow a\\equiv b \\mod n\\mathbb{Z}$ für den Ring $\\mathbb{Z}$ und Ideale $n\\mathbb{Z}$"},
{"word": "Kongruenz", "description": "Äquivalenzrelation $a\\equiv b \\mod I:\\Leftrightarrow a-b\\in I$ von Elementen $a,b\\in R$ eines Ringes $R$ bezüglich eines Ideals $I$, auch geschrieben $a\\equiv b \\mod n$ für Ideale $n\\mathbb{Z}$ von $\\mathbb{Z}$"},
{"word": "modulo", "description": "Äquivalenzrelation $a\\equiv b \\mod I:\\Leftrightarrow a-b\\in I$ von Elementen $a,b\\in R$ eines Ringes $R$ bezüglich eines Ideals $I$, auch geschrieben $a\\equiv b \\mod n$ für Ideale $n\\mathbb{Z}$ von $\\mathbb{Z}$"},
{"word": "simultane Kongruenz", "description": "System von Kongruenzen $x\\equiv r_i \\mod I_i$ für einen Ring $R$ und Elemente $r_1,...,r_n$ sowie Ideale $I_1,...,I_n$, für das alle passenden $x\\in R$ gesucht werden"},
{"word": "teilerfremd", "description": "Ideale $I_1,I_2$ eines Rings $R$ mit $1\\in I_1+I_2:=\\{a_1+a_2\\mid a_1\\in I_1,a_2\\in I_2\\}$"},
{"word": "chinesischer Restsatz", "description": "für jeden Ring $R$ und paarweise teilerfremde Ideale $I_1,...,I_n$ ist $\\varphi:R/(I_1\\cap...\\cap I_n)\\overset{\\sim}{\\rightarrow}\\prod_{k=1}^nR/I_k:r\\mapsto(r \\mod I_1,...,r \\mod I_n)$ ein Isomorphismus"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Körper",
"words": [
{"word": "Körper", "description": "kommutativer Ring $(K,+,\\cdot)$ mit $K^\\times=K\\setminus\\{0\\}$"},
{"word": "Körperaxiome", "description": "Gruppeneigenschaften von $(K,+)$ (K1-K4) und $(K\\setminus\\{0\\},\\cdot)$ (K5-K8) sowie Distributivität (K9)"},
{"word": "Teilkörper", "description": "Teilring der auch ein Körper ist"},
{"word": "endlicher Körper", "description": "endlicher Körper $\\mathbb{F}_n$ mit $n$ elementen, in der Vorlesung vor allem am Beispiel $\\mathbb{F}_p:=\\mathbb{Z}/p\\mathbb{Z}$ für Primzahlen $p$ bekannt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Polynome",
"words": [
{"word": "Polynom", "description": "Konstrukt der Form $P=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ für ein $n\\in\\mathbb{N}_0$ und Koeffizienten $a_0,...,a_n\\in R$ aus einem kommutativen Ring $R$, formal definiert als Folge $(a_0,a_1,...)\\in R^{\\mathbb{N}_0}$ mit nur endlich vielen Einträgen ungleich 0"},
{"word": "Koeffizient", "description": "Vorfaktor vor einem der Terme eines Polynoms"},
{"word": "Leitkoeffizient", "description": "erster Koeffizient ungleich Null"},
{"word": "Monom", "description": "Polynom mit nur einem Term, bzw. nur einem Koeffizienten $a_n\\in R$ ungleich 0"},
{"word": "Polynomring", "description": "kommutativer Ring $R[x]$ aller Polynome auf einem kommutativen Ring $R$"},
{"word": "Nullpolynom", "description": "Nullelement des Polynomrings, bzw. Polynom bei dem alle Koeffizienten Null sind"},
{"word": "Polynomfunktion", "description": "durch Auswerten eines Polynoms gegebene Abbildung"},
{"word": "Nullfunktion", "description": "Funktion die jeden Wert auf das Nullelement der betrachteten Struktur abbildet"},
{"word": "Grad", "description": "größter Index dessen Koeffizient ungleich Null ist, bzw. $-\\infty$ für das Nullpolynom, bezeichnet mit $\\deg(P)$"},
{"word": "Polynomdivision", "description": "Ermittlung von Polynomen $Q,R\\in R[x]$ mit $F=QG+R$ und $\\deg(R)<\\deg(G)$ für gegebene Polynome $F,G\\in R[x]$"},
{"word": "irreduzibles Polynom", "description": "Polynom $p\\in K[x]$ mit $\\deg(p)\\geq 1$ über einem Körper $K$ mit $p=ab\\Rightarrow a\\in R^\\times\\lor b\\in R^\\times$ für alle $a,b\\in R$"},
{"word": "normiert", "description": "Polynom mit dem Leitkoeffizienten $1$"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Vektorräume",
"words": [
{"word": "Vektorraum", "description": "abelsche Gruppe $(V,+)$ mit einer Verknüpfung $\\cdot:K\\times V\\rightarrow V,(\\alpha,v)\\mapsto\\alpha\\cdot v$ für die das Assoziativgesetz, das Distributivgesetz und $1_K\\cdot v=v$ gelten"},
{"word": "Vektor", "description": "Element eines Vektorraums"},
{"word": "Skalar", "description": "Element des einem Vektorraum zugehörigen Körpers"},
{"word": "Skalarmultiplikation", "description": "Produkt eines Skalars mit einem Vektor"},
{"word": "Nullvektor", "description": "neutrales Element der Gruppe $(V,+)$ eines Vektorraumes"}, {"word": "Nullraum", "description": "Vektorraum der nur den Nullvektor enthält"},
{"word": "Standardvektorraum", "description": "Vektorraum $K^n$ für ein $n\\in\\mathbb{N}$ und einen Körper $K$"},
{"word": "Zeilenvektor"},
{"word": "Spaltenvektor"},
{"word": "Kürzungsregel", "description": "$\\alpha v=0\\Leftrightarrow \\alpha=0\\lor v=0$, gilt in allen Vektorräumen"},
{"word": "Untervektorraum", "synonyms": ["linearer Unterraum", "Teilraum"], "description": "Teilmenge $U$ eines Vektorraums $V$ die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist"},
{"word": "triviale Unterräume", "description": "der Nullraum und der Vektorraum selbst"},
{"word": "Linearkombination", "description": "Summe endlich vieler Vektoren eines Vektorraums, jeweils multipliziert mit einem Skalar $\\alpha_i$ "},
{"word": "Aufspann", "description": "Menge $\\langle A\\rangle$ aller Linearkombinationen von Vektoren aus $A$"},
{"word": "lineare Hülle", "description": "Durchschnitt aller $A$ enthaltenden Unterräume, äquivalent zum Aufspann $\\langle A\\rangle$"},
{"word": "Erzeugendensystem", "description": "Tupel oder Familie von Vektoren dessen Aufspann den Vektorraum ergibt"},
{"word": "endlich erzeugt", "description": "Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem"},
{"word": "nicht endlich erzeugt", "description": "Vektorraum mit keinem endlichen Erzeugendensystem"},
{"word": "linear abhängig", "description": "Erzeugendensystem das die Null als nichttriviale Linearkombination darstellen kann"},
{"word": "linear unabhängig", "description": "Erzeugendensystem das die Null nicht als nichttriviale Linearkombination darstellen kann"},
{"word": "Basis", "description": "linear unabhängiges Erzeugendensystem"},
{"word": "Standardbasis", "description": "Basis des $K^n$ bestehend aus den Standard-Basisvektoren"},
{"word": "Standardbasisvektoren", "description": "Vektoren $e_1,...,e_n\\in K^n$ mit je einer Eins an der $i$-ten Stelle und sonst nur Nullen"},
{"word": "Basisergänzungssatz", "description": "jedes linear unabhängige System von Vektoren kann mit Vektoren eines beliebigen Erzeugendensystems zu einer Basis ergänzt werden"},
{"word": "Basisaustauschsatz", "description": "für jede Basis und jedes linear unabhängige System aus $n$ Vektoren können $n$ Vektoren der Basis so durch die des Erzeugendensystems ersetzt werden dass das Ergebnis eine Basis ist"},
{"word": "Dimension", "description": "Länge der Basen eines Vektorraums, bezeichnet mit $\\dim_K(V)\\in(\\mathbb{N}_0\\cup\\{\\infty\\})$"},
{"word": "endlichdimensional"},
{"word": "externe direkte Summe", "description": "Mengenprodukt $U_1\\oplus...\\oplus U_n:=U_1\\times...\\times U_n$ von $K$-Vektorräumen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation"},
{"word": "interne Summe", "description": "lineare Hülle $U_1+...+U_n:=\\langle U_1\\cup...\\cup U_n\\rangle$ der Vereinigung von Unterräumen $U_i\\subseteq V$"},
{"word": "interne direkte Summe", "description": "interne Summe von Unterräumen $U_1,...,U_n$ mit $U_i\\cap(U_1+...+U_{i-1}+U_{i+1}+...+U_n)=\\{0\\}$ für alle $i$"},
{"word": "direkt", "description": "interne Summe von Unterräumen $U_1,...,U_n$ wenn $U_i\\cap(U_1+...+U_{i-1}+U_{i+1}+...+U_n)=\\{0\\}$ für alle $i$ gilt"},
{"word": "Komplement", "description": "Vektorraum $U'$ mit $U'+U=V$ für Vektorräume $U\\subseteq V$"},
{"word": "Dimensionsformel", "description": "$\\dim(U_1+U_2)=\\dim(U_1)+\\dim(U_2)-\\dim(U_1\\cap U_2)$, gilt für alle Unterräume $U_1,U_2$ eines Vektorraums $V$"},
{"word": "affiner Unterraum", "description": "Teilmenge $v+U:=\\{v+u\\mid u\\in U\\}$ eines Vektorraums $V$ für einen Stützvektor $v\\in V$ und einen Unterraum $U\\subseteq V$"},
{"word": "Quotientenraum", "description": "Vektorraum $V/U:=\\{[v]\\mid v\\in V\\}=\\{v+U\\mid v\\in V\\}$ aller affinen Unterräume $v+U$ bzw. Äquivalenzklassen von $V$ bezüglich der Relation $v\\sim u:\\Leftrightarrow v-u\\in U$ für einen Vektorraum $V$ und einen Unterraum $U$, mit repräsentantenweiser Addition und Skalarmultiplikation"},
{"word": "Quotientenabbildung", "description": "Epimorphismus $p:V\\twoheadrightarrow V/U,v\\mapsto [v]=v+U$ für einen Unterraum $U$ eines Vektorraums $V$"},
{"word": "Homomorphiesatz für Vektorräume", "synonyms": ["Homomorphiesatz"], "description": "für jeden Homomorphismus $f:V\\rightarrow W$ und jede Untergruppe $U$ ihres Kerns existiert genau ein Homomorphismus $\\overline{f}:V/U\\rightarrow W$ mit $f=\\overline{f}\\circ p$ für die Quotientenabbildung $p:V\\twoheadrightarrow V/U$"},
{"word": "Isomorphiesätze", "description": "$U/(U\\cap U')\\simeq(U+U')/U'$ für alle Unterräume $U,U'$ eines Vektorraums $V$, sowie $(V/U)/(U'/U)\\simeq V/U'$ im Fall $U\\subseteq U'$"},
{"word": "Basiswechsel", "description": "Automorphismus $\\Phi_\\mathcal{A,B}:=\\Phi_\\mathcal{B}^{-1}\\circ\\Phi_\\mathcal{A}\\in\\Aut_K(K^n)$ der von einer Basis $\\mathcal{A}$ eines $n$-dimensionalen Vektorraums $V\\simeq K^n$ in eine andere Basis $\\mathcal{B}$ abbildet"},
{"word": "Basiswechselmatrix", "description": "Matrix $\\Phi_\\mathcal{A,B}\\in\\Mat(n\\times n,K)$ die von einer Basis $\\mathcal{A}$ eines $n$-dimensionalen Vektorraums $V\\simeq K^n$ in eine andere Basis $\\mathcal{B}$ abbildet"},
{"word": "Transformationsformel", "description": "$M_\\mathcal{A,B}(f)=\\Phi_\\mathcal{B',B}\\circ M_\\mathcal{A',B'}(f)\\circ\\Phi_\\mathcal{A,A'}$ für eine Abbildung $f:V\\rightarrow W$ und Basen $\\mathcal{A,A'}$ von $V$ sowie $\\mathcal{B,B'}$ von $W$"},
{"word": "Kodimension", "description": "Dimension $\\textrm{codim}_K(U,V):=\\dim_K(V)-\\dim_K(U)$ der Komplemente eines Unterraums $U\\subseteq V$"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Gleichungssysteme",
"words": [
{"word": "lineares Gleichungssystem"},
{"word": "LGS"},
{"word": "homogen", "description": "Gleichungssystem ohne konstante Terme"},
{"word": "inhomogen", "description": "Gleichungssystem mit konstanten Termen"},
{"word": "echt inhomogen", "description": "Gleichungssystem mit konstanten Termen ungleich Null"},
{"word": "homogenes LGS"},
{"word": "inhomogenes LGS"},
{"word": "Lösung"},
{"word": "Lösungsmenge", "description": "Menge aller Lösungen eines Gleichungssystems, für Gleichungen der Form $Ax=b$ mit $A\\in\\Mat(m\\times n,K),b\\in K^m$ bezeichnet mit $\\mathcal{L}(A,b)\\subseteq K^n$"},
{"word": "lösbar"},
{"word": "nicht lösbar"},
{"word": "Koeffizientenmatrix", "description": "Matrix aller Vorfaktoren eines Linearen Gleichungssystems"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "lineare Abbildungen",
"words": [
{"word": "lineare Abbildung", "synonyms": ["Vektorraumhomomorphismus", "linear"], "description": "Abbildung $f:V\\rightarrow W$ zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ mit $f(u+v)=f(u)+f(v)$ und $f(\\alpha v)=\\alpha f(v)$ für alle $u,v\\in V$ und $\\alpha\\in K$"},
{"word": "affin-lineare Abbildung", "synonyms": ["affin-linear"], "description": "Abbildung $f:V\\rightarrow W$ zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ mit $f(x)=g(x)+v$ für ein $v\\in W$ und eine lineare Abbildung $g:V\\rightarrow W$"},
{"word": "Linearität", "description": "Eigenschaft $f(u+v)=f(u)+f(v)$ und $f(\\alpha v)=\\alpha f(v)$ von linearen Abbildungen $f:V\\rightarrow W$"},
{"word": "Linearitätskriterium", "description": "Kriterium $f(u+\\alpha v)=f(u)+\\alpha f(v)$ zum einfachen Nachweis der Linearität einer Abbildung $f$"}, {"word": "Struktursatz", "description": "Für jeden $K$-Vektorraum $V$ mit einer Basis $\\mathcal{B}=(v_i)_{i\\in I}$ ist $\\Phi_\\mathcal{B}:K^I\\overset{\\sim}{\\rightarrow}V,(\\alpha_i)_{i\\in I}\\mapsto\\sum_{i\\in I}\\alpha_iv_i$ ein Isomorphismus, und $V$ somit isomorph zu $K^I$"},
{"word": "Homomorphismenraum", "description": "Vektorraum $\\Hom_K(V,W)$ aller linearen Abbildungen von $V$ nach $W$, mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation"},
{"word": "Endomorphismenring", "description": "Ring $\\End_K(V)=\\Hom_K(V,V)$ aller linearen Abbildungen von $V$ nach $V$, mit punktweiser Addition und Verkettung als Multiplikation"},
{"word": "Automorphismengruppe", "description": "Gruppe $\\Aut_K(V)=(\\End_K(V))^\\times$ aller bijektiven linearen Abbildungen von $V$ nach $V$, mit Verkettung als Multiplikation"},
{"word": "Algebra", "description": "Ring $(R,+,\\circ)$ der zugleich ein $K$-Vektorraum mit $\\alpha(f\\circ g)=(\\alpha f)\\circ g=f\\circ(\\alpha g)$ für alle $f,g\\in R$ und $\\alpha\\in K$ ist"},
{"word": "Endomorphismenalgebra", "description": "Menge $\\End_K(V)$ aller Endomorphismen auf $V$ als $K$-Algebra mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation sowie Verkettung als Multiplikation"},
{"word": "Projektion", "synonyms": ["Projektionsabbildung","Projektor"], "description": "lineare Abbildung $p\\in\\End_K(V)$ mit $p\\circ p=p$, die also jeden Bildpunkt auf sich selbst abbildet"},
{"word": "Inklusion", "synonyms": ["Inklusionsabbildung"], "description": "Abbildung $f:U\\hookrightarrow V,v\\rightarrow v$ für eine Teilmenge $U$ einer beliebigen Menge $V$, im Fall von Vektorräumen ein Monomorphismus"},
{"word": "Dimensionsformel", "description": "$\\dim_K(V)=\\dim_K(\\ker(f))+\\dim_K(\\im(f))$, gilt für alle Homomorphismen $f:V\\rightarrow W$"},
{"word": "Cokern", "description": "Vektorraum $\\cok(f):=V/\\im(f)$ für eine lineare Abbildung $f:U\\rightarrow V$"},
{"word": "Struktursatz für lineare Abbildungen", "description": "für jede lineare Abbildung $f:V\\rightarrow W$ zwischen endlichen Vektorräumen gibt es Basen $\\mathcal{A}\\subseteq V,\\mathcal{B}\\subseteq W$ mit $M_\\mathcal{A,B}(f)=\\begin{pmatrix}1_{r\\times r}&0_{r\\times b}\\\\0_{a\\times r}&0_{a\\times b}\\end{pmatrix}$ für $r=\\dim_K\\im(f)$, $a=\\dim(W)-r$ und $b=\\dim(V)-r$"},
{"word": "innerer Automorphismus", "description": "Automorphismus $\\varphi_A:\\End_K(V)\\rightarrow \\End_K(V),f\\mapsto A\\circ f\\circ A^{-1}$ für ein $A\\in\\Aut_K(V)$"},
{"word": "Satz von Skolem-Noether", "description": "jeder Automorphismus $\\varphi:\\End_K(V)\\rightarrow\\End_K(V)$ ist ein innerer Automorphismus $\\varphi_A$"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Matrizen",
"words": [
{"word": "Matrix", "description": "rechteckiges Schema zur Darstellung von linearen Abbildungen"},
{"word": "Zeile"},
{"word": "Spalte"},
{"word": "Zeilenindex"},
{"word": "Spaltenindex"},
{"word": "Abbildungsmatrix", "description": "Matrix $_\\mathcal{C}f_\\mathcal{B}=M_{\\mathcal{B},\\mathcal{C}}(f)$ die eine Abbildung $f:U\\rightarrow V$ in gegebenen Basen $\\mathcal{B}\\subseteq U,\\mathcal{C}\\subseteq V$ beschreibt, entspricht der Abbildung $\\Phi_\\mathcal{C}^{-1}\\circ f\\circ\\Phi_\\mathcal{B}$"},
{"word": "Matrizenraum", "description": "Menge $\\Mat(m\\times n,K)$ aller $m\\times n$-Matrizen auf $K$ als $K$-Vektorraum mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation, isomorph zu $\\Hom_K(K^n,K^m)$"},
{"word": "Matrixprodukt", "description": "$A\\cdot B:=(c_{ik})\\in\\Mat(l\\times n,K)$ mit $c_{ik}:=\\sum_{j=1}^ma_{ij}b_{jk}$ für zwei Matrizen $A=(a_{ij})\\in\\Mat(l\\times m,K),B=(b_{jk})\\in\\Mat(m\\times n,K)$, intuitiv Anwendung von $A$ auf die Spalten von $B$ bzw. Verkettung der jeweiligen Funktionen"},
{"word": "Matrizenalgebra", "description": "Menge $\\Mat(n\\times n,K)$ aller $n\\times n$-Matrizen auf $K$ als $K$-Algebra mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation sowie Matrixmultiplikation, isomorph zu $\\End_K(K^n)$"},
{"word": "Nullmatrix", "description": "Nullelement des Matrizenraums, bzw. Matrix mit ausschließlich Nullen als Einträgen"},
{"word": "Einheitsmatrix", "description": "Einselement der Matrizenalgebra, bzw. Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung"},
{"word": "Elementarmatrix", "description": "Matrix $E_{ij}$ mit einer Eins und sonst nur Nullen als Einträgen, bilden zusammen eine Basis des Matrizenraums"},
{"word": "Drehmatrix", "description": "Matrix $\\begin{pmatrix}\\cos\\varphi&-\\sin\\varphi\\\\\\sin\\varphi&\\cos\\varphi\\end{pmatrix}\\in\\Gl_2(\\mathbb{R})$"},
{"word": "Kronecker-Delta", "description": "$\\delta_{ij}$ mit $\\delta_{ij}=1$ für alle $i=j$ und 0 sonst"},
{"word": "transponierte Matrix", "description": "Matrix $A^t=(a_{ji})\\in\\Mat(n\\times m,K)$ für eine Matrix $A=(a_{ij})\\in\\Mat(m\\times n,K)$, beschreibt die zur ursprünglichen Abbildung $f$ mit $A=M_{\\mathcal{B},\\mathcal{C}}(f)$ duale Abbildung $f^*$ in den dualen Basen $\\mathcal{C}^*$ und $\\mathcal{B}^*$"},
{"word": "transponieren", "description": "Umwandeln einer Matrix $A$ in ihre transponierte Matrix $A^t$ durch Spiegelung entlang der Hauptdiagonalen, bzw. Dualisieren der entsprechenden Abbildung"},
{"word": "Spaltenrang", "synonyms": ["Rang"], "description": "Dimension $\\rk(A)$ des Bildes bzw. des Aufspanns aller Spalten einer Matrix $A$"},
{"word": "invertierbar", "synonyms": ["invertierbare Matrix"], "description": "quadratische Matrix $A\\in\\Mat(n\\times n,K)$ die ein multiplikatives Inverses $A^{-1}\\in\\Mat(n\\times n,K)$ besitzt, bzw. deren zugehörige Funktion ein Automorphismus ist"},
{"word": "inverse Matrix", "description": "Matrix $A^{-1}\\in\\Mat(n\\times n,K)$ mit $A^{-1}A=AA^{-1}=1$ für eine Matrix $A\\in\\Mat(n\\times n,K)$"},
{"word": "allgemeine lineare Gruppe", "description": "Einheitengruppe $\\Gl_n(K):=(\\Mat(n\\times n,K))^\\times$ des Matrizenringes, also multiplikative Gruppe aller invertierbaren $n\\times n$-Matrizen"},
{"word": "Zeilenrang", "description": "Dimension $\\rk(A^t)$ des Aufspanns aller Zeilen einer Matrix $A$, gleich dem Rang bzw. Spaltenrang $\\rk(A)$"},
{"word": "Blockmatrix", "description": "Schreibweise von Matrizen als Zusammensetzung kleinerer Matrizen, genannt Blöcke"},
{"word": "Block", "description": "Teil einer Blockmatrix"},
{"word": "äquivalent", "description": "Matrizen $M,M'\\in\\Mat(m\\times n,K)$ mit $B^{-1}MA=M^{-1}$ für Matrizen $A\\in\\Gl_n(K),B\\in\\Gl_m(K)$, beschreiben denselben Homomorphismus in unterschiedlichen Basen"},
{"word": "ähnlich", "description": "Matrizen $M,M'\\in\\Mat(n\\times n,K)$ mit $A^{-1}MA=M'$ für eine Matrix $A\\in\\Gl_n(K)$, beschreiben denselben Endomorphismus in unterschiedlichen Basen"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Gauß-Algorithmus",
"words": [
{"word": "Gauß-Algorithmus", "description": "Verfahren zur schrittweisen Vereinfachung von Matrizen oder linearen Gleichungssystemen anhand von deren Koeffizientenmatrix durch Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen $S\\in\\Gl_n(K)$"},
{"word": "Zeilenstufenform", "description": "Matrix bei der jede Zeile mit mehr Nullen anfängt als die vorherige, jeweils gefolgt von einer Eins"},
{"word": "reduzierte Zeilenstufenform", "description": "Matrix in Zeilenstufenform bei der über der ersten Eins jeder Zeile jeweils nur Nullen stehen"},
{"word": "Zeilenumformungen", "synonyms": ["Zeilentransformationen"]},
{"word": "Spaltenumformungen", "synonyms": ["Spaltentransformationen"]},
{"word": "elementare Umformungen", "synonyms": ["elemente Transformationen"]},
{"word": "elementare Umformung vom Typ 1", "description": "Multiplikation einer Zeile einer Matrik mit einem Skalar $\\alpha\\in K^\\times$, gegeben durch Linksmultiplikation mit $1-(1-\\alpha)E_{ii}$"},
{"word": "elementare Umformung vom Typ 2", "description": "Addition einer Zeile einer Matrix zu einer anderen, entspricht Linksmultiplikation mit $1+E_{ij}$"},
{"word": "elementare Umformung vom Typ 3", "description": "Addition eines Vielfachen einer Zeile einer Matrix zu einer anderen, entspricht Linksmultiplikation mit $1+\\alpha E_{ij}$ für ein $\\alpha\\in K$"},
{"word": "elementare Umformung vom Typ 4", "description": "Vertauschung zweier Zeilen, entspricht Linksmultiplikation mit $1+E_{ij}+E_{ji}-E_{ii}-E_{jj}$"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
},
{
"type": "topic", "name": "Dualräume",
"words": [
{"word": "Kovariante", "description": "Homomorphismus $g_*:\\Hom_K(W,U)\\rightarrow\\Hom_K(W,V),f\\mapsto g\\circ f$ für einen Homomorphismus $g:U\\rightarrow V$"},
{"word": "Kontravariante", "description": "Homomorphismus $g^*:\\Hom_K(V,W)\\rightarrow\\Hom_K(U,W),f\\mapsto f\\circ g$ für einen Homomorphismus $g:U\\rightarrow V$"},
{"word": "Linearform", "description": "Abbildung $f\\in\\Hom_K(V,K)$ für einen $K$-Vektorraum $V$"},
{"word": "Dualraum", "description": "Vektorraum $V^*:=\\Hom_K(V,K)$ aller Linearformen von $V$"},
{"word": "duale Abbildung", "description": "Kontravariante $g^*:V^*\\rightarrow U^*,f\\mapsto f\\circ g$ für einen Homomorphismus $g:U\\rightarrow V$"},
{"word": "duale Basis", "description": "Basis $\\mathcal{B}^*:=(f_1,...,f_n)$ mit $f_i(v_j):=\\delta_{ij}$ von $V^*$ für eine Basis $\\mathcal{B}=(v_1,...,v_n)$ eines Vektorraums $V$"},
{"word": "Bidualität", "description": "Isomorphismus $\\iota:V\\overset{\\sim}{\\rightarrow}V^{**},v\\mapsto(f\\mapsto f(v))$ für einen Vektorraum $V$"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Sequenzen",
"words": [
{"word": "Sequenz", "description": "Aneinanderreihung $...\\rightarrow V_{i-1}\\overset{f_{i-1}}{\\rightarrow}V_i\\overset{f_i}{\\rightarrow}V_{i+1}\\rightarrow...$ von Homomorphismen $f_i:V_i\\rightarrow V_{i+1}$, für gewöhnlich mit Nullräumen als Start- und Zielraum"},
{"word": "exakt", "description": "$i$-te Stelle einer Sequenz wenn $\\im(f_{i-1})=\\ker(f_i)$ ist, oder gesamte Sequenz wenn sie an allen Stellen exakt ist"},
{"word": "exakte Sequenz", "description": "Sequenz mit $\\im(f_{i-1})=\\ker(f_i)$ für alle $i$"},
{"word": "kurz", "synonyms": ["kurze Sequenz"], "description": "Sequenz mit nur drei von Null verschiedenen Vektorräumen"},
{"word": "kurze exakte Sequenz", "description": "exakte Sequenz mit nur drei von Null verschiedenen Vektorräumen"},
{"word": "duale Sequenz", "description": "Sequenz $W^*\\overset{g^*}{\\rightarrow}V^*\\overset{f^*}{\\rightarrow}U^*$ für eine Sequenz $U\\overset{f}{\\rightarrow}V\\overset{g}{\\rightarrow}W$, exakt genau dann wenn die ursprüngliche Sequenz exakt war"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"},
{"word": "Induktionsschritt"}
]
}
]
}