{"word":"Relation","description":"Menge $R\\subseteq M^n$ von Tupeln von Elementen von $M$ die miteinander in Verbindung stehen, für $n=2$ geschrieben $a\\sim b:\\Leftrightarrow(a,b)\\in R$"},
{"word":"Relation","description":"Menge $R\\subseteq M^n$ von Tupeln von je $n$ Elementen von $M$ die miteinander in Verbindung stehen, für $n=2$ geschrieben $a\\sim b:\\Leftrightarrow(a,b)\\in R$"},
{"word":"binäre Relation","description":"Relation zwischen je zwei Elementen "},
{"word":"reflexiv","description":"Relation $\\sim$ mit $a\\sim a$ für alle $a$"},
{"word":"symmetrisch","description":"Relation $\\sim$ mit $a\\sim b\\Leftrightarrow b\\sim a$"},
...
...
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{"word":"Induktionsvoraussetzung"},
{"word":"Induktionsschritt"}
]
},
{
"type":"topic",
"name":"Verknüpfungen",
"words":[
{"word":"Verknüpfung","description":"Abbildung, die jedem Tupel $(a,b)\\in M\\times M$ ein weiteres Element aus $M$ zuordnet, bezeichnet $a\\circ b$"},
{"word":"assoziativ","description":"Verknüpfung $\\circ$ mit $(a\\circ b)\\circ c=a\\circ(b\\circ c)$"},
{"word":"kommutativ","description":"Verknüpfung $\\circ$ mit $a\\circ b=b\\circ a$"},
{"word":"distributiv","description":"Verknüpfungen $+,\\cdot$ mit $a\\cdot(b+c)=(a\\cdot b)+(a\\cdot c)$ sowie $(a+b)\\cdot c=(a\\cdot c)+(b\\cdot c)$ für alle $a,b,c$"},
{"word":"Assoziativgesetz","description":"$(a\\circ b)\\circ c=a\\circ(b\\circ c)$ für eine passende Verknüpfung $\\circ$"},
{"word":"Kommutativgesetz","description":"$a\\circ b=b\\circ a$ für eine passende Verknüpfung $\\circ$"},
{"word":"Distributivgesetz","description":"$a\\cdot(b+c)=(a\\cdot b)+(a\\cdot c)$ sowie $(a+b)\\cdot c=(a\\cdot c)+(b\\cdot c)$ für passende Verknüpfungen $+,\\cdot$"},
{"word":"Verknüpfungstafel","description":"Darstellungsform von Verknüpfungen auf endlichen Mengen"}
]
},
{
"type":"topic",
"name":"Strukturen",
"words":[
{"word":"algebraische Struktur","description":"Menge mit darauf definierten Verknüpfungen, z.B. Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume und Algebren"},
{"word":"Unterstruktur","description":"Teilmenge eine algebraischen Struktur die unter den darauf definierten Verknüpfungen abgeschlossen ist"},
{"word":"Homomorphismus","description":"Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen die die jeweilige Struktur erhält"},
{"word":"Monomorphismus","description":"injektiver Homomorphismus, geschrieben mit $\\hookrightarrow$"},
{"word":"Epimorphismus","description":"surjektiver Homomorphismus, geschrieben mit $\\twoheadrightarrow$"},
{"word":"Isomorphismus","description":"bijektiver Homomorphismus, geschrieben mit $\\overset{\\sim}{\\rightarrow}$"},
{"word":"isomorph","description":"algebraische Strukturen zwischen denen ein Isomorphismus existiert"},
{"word":"Endomorphismus","description":"Homomorphismus einer Struktur auf sich selbst"},
{"word":"Automorphismus","description":"Isomorphismus einer Struktur auf sich selbst"}
]
},
{
"type":"topic",
"name":"Gruppen",
"words":[
{"word":"Gruppentheorie"},
{"word":"Halbgruppe","description":"Menge $M$ mit assoziativer Verknüpfung $\\circ$"},
{"word":"abelsch","description":"Gruppe oder Halbgruppe mit einer kommutativen Verknüpfung"},
{"word":"abelsche Halbgruppe"},
{"word":"linksneutral","description":"Element $e\\in M$ mit $e\\circ a=a$ für alle $a\\in M$"},
{"word":"linksneutral","description":"Element $e\\in M$ mit $a\\circ e=a$ für alle $a\\in M$"},
{"word":"neutrales Element","description":"Element, das sowohl links- als auch rechtsneutral ist"},
{"word":"Monoid","description":"Halbgruppe mit neutralem Element"},
{"word":"linksinvers","description":"Element $b\\in M$ mit $b\\circ a=e_M$ für ein $a\\in M$"},
{"word":"rechtsinvers","description":"Element $b\\in M$ mit $a\\circ b=e_M$ für ein $a\\in M$"},
{"word":"invers","description":"Element $b\\in M$ mit $b\\circ a=a\\circ b=e_M$ für ein $a\\in M$"},
{"word":"Inverses","description":"zu $a\\in M$ inverses Element $a^{-1}$"},
{"word":"Gruppe","description":"Monoid mit Inversem zu jedem Element"},
{"word":"kommutative Gruppe"},
{"word":"abelsche Gruppe"},
{"word":"Kürzungsregel","description":"$x=y\\Leftrightarrow c\\circ x=c\\circ y\\Leftrightarrow x\\circ c=y\\circ c$, gilt in allen Gruppen, Integritätsringen und Körpern"},
{"word":"Untergruppe","description":"nichtleere Teilmenge $H$ einer Gruppe mit $ab^{-1}\\in H$ für alle $a,b\\in H$"},
{"word":"triviale Untergruppen","description":"$\\{e\\}$ und die Gruppe selbst"},
{"word":"Ordnung","description":"Anzahl $|G|$ der Elemente einer endlichen Gruppe $G$, bzw. Ordnung $\\textrm{ord}(g):=|\\langle g\\rangle|$ der von $g\\in G$ erzeugten zyklischen Untergruppe"},
{"word":"Satz von Lagrange","description":"für jede Untergruppe $H$ einer endlichen Gruppe $G$ teilt $|H|$ $|G|$"},
{"word":"zyklische Untergruppe","description":"Untergruppe $\\lange g\\rangle:=\\{g^n\\mid n\\in\\mathbb{Z}\\}\\subseteq G$ für ein $g\\in G$, analog zum Aufspann eines Vektors"},
{"word":"zyklisch","description":"Gruppe $G$ mit $\\langle g\\rangle=G$ für ein $g\\in G$"},
{"word":"erzeugte Untergruppe","description":"Untergruppe $\\langle S\\rangle:=\\{s_1^{e_1}...s_n^{e_n}\\mid n\\in\\mathbb{N}_0,s_i\\in S,e_i\\in\\mathbb{Z}\\}$ für eine Menge $S\\subseteq G$, analog zum Aufspann einer Menge"},
{"word":"Gruppenhomomorphismus","description":"Abbildung $\\varphi$ zwischen zwei Gruppen $H$ und $G$, mit $\\varphi(ab)=\\varphi(a)\\varphi(b)$"},
{"word":"Diedergruppe","description":"Gruppe $D_n$ aller Isometrien in der Ebene, die ein regelmäßiges $n$-Eck auf sich selbst abbilden"},
{"word":"Quotient","description":"Menge $G/K:=G/\\sim$ aller Äquivalenzklassen bezüglich der Relation $a\\sim b:\\Leftrightarrow a-b\\in K$ für abelsche Gruppen $K\\subseteq G$"},
{"word":"Quotientenabbildung","description":"Epimorphismus $p:G\\twoheadrightarrow G/K,a\\mapsto[a]$ für abelsche Gruppen $K\\subseteq G$"},
{"word":"kommutieren","description":"Diagramm von Homomorphismen, wenn die Verkettung entlang aller Pfade zwischen zwei Mengen jeweils dieselbe Abbildung ergibt"},
{"word":"kommutatives Diagramm","description":"Diagramm von Homomorphismen, bei dem die Verkettung entlang aller Pfade zwischen zwei Mengen jeweils dieselbe Abbildung ergibt"},
{"word":"Konjugation","description":"Linksmultiplikation mit dem Inversen eines Elements und Rechtsmultiplikation mit dem Element selbst, also z.B. $g^{-1}ag$"},
{"word":"Konjugationsabbildung","description":"Automorphismus $c_g:G\\rightarrow G,a\\mapsto g^{-1}ag$ für ein $g\\in G$"},
{"word":"normal","description":"Untergruppe $K\\subseteq G$ mit $c_g(K)\\subseteq K$ für alle $g\\in G$, geschrieben $K\\unlhd G$"},
{"word":"normale Untergruppe","description":"Untergruppe $K\\subseteq G$ mit $c_g(K)\\subseteq K$ für alle $g\\in G$, geschrieben $K\\unlhd G$"},
{"word":"Normalteiler","description":"Untergruppe $K\\subseteq G$ mit $c_g(K)\\subseteq K$ für alle $g\\in G$, geschrieben $K\\unlhd G$"},
{"word":"konjugierte Untergruppe","description":"Untergruppe $c_g(K)=c^{-1}Kc$ für eine Untergruppe $K\\subseteq G$ und ein $g\\in G$"},
{"word":"Homomorphiesatz für Gruppen","description":"Für jeden Gruppenhomomorphismus $f:G\\rightarrow H$ ist $\\textrm{ker}(f)$ ein Normalteiler von $G$ und $p\\circ\\overline{f}=f$ für die Quotientenabbildung $p:G\\twoheadrightarrow G/\\textrm{ker}(f)$ und einen Isomorphismus $\\overline{f}$"}
]
},
{
"type":"topic",
"name":"Permutationen",
"words":[
{"word":"Permutation","description":"bijektive Abbildung des Tupels $(1,2,...,n)$ auf sich selbst, also Umordnung von $n$ Objekten"},
{"word":"symmetrische Gruppe","description":"Gruppe aller Permutationen von $n$ Elementen bezüglich der Verkettung"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"}
]
},
{
"type":"topic",
"name":"Ringe",
"words":[
{"word":"Ring","description":"Tripel $(R,+,\\cdot)$, sodass $(R,+)$ eine Gruppe sowie $(R,\\cdot)$ ein Monoid ist und das Distributivgesetz gilt"},
{"word":"kommutativer Ring","description":"Ring $(R,+,\\cdot)$ mit kommutativem $\\cdot$"},
{"word":"Null","description":"neutrales Element der additiven Gruppe, bzw. absorbierendes Element der multiplikativen"},
{"word":"Eins","description":"neutrales Element einer multiplikativen Gruppe"},
{"word":"Nullelement","description":"neutrales Element der additiven Gruppe, zwangsläufig auch absorbierendes Element der multiplikativen"},
{"word":"Einselement","description":"neutrales Element einer multiplikativen Gruppe"},
{"word":"Nullring","description":"Ring mit der Null als einziges Element"},
{"word":"Einheitengruppe","description":"Gruppe $(R^\\times,\\cdot)$ der multiplikativ invertierbaren Elemente eines Rings $(R,+,\\cdot)$"},
{"word":"Teilring","description":"Teilmenge $S\\subseteq R$ eines Rings die unter Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen ist"},
{"word":"Ringhomomorphismus","description":"Abbildung $\\varphi:R\\rightarrow S$ mit $\\varphi(1_R)=1_S$ sowie $\\varphi(a+b)=\\varphi(a)+\\varphi(b)$ und $\\varphi(a\\cdot b)=\\varphi(a)\\cdot\\varphi(b)$ für alle $a,b\\in R$"},
{"word":"Charakteristik","description":"kleinstes $n\\in\\mathbb{N}$ das vom Homomorphismus $\\varphi_R:\\mathbb{Z}\\rightarrow R$ abgebildet wird, oder 0 falls kein solches $n$ existiert"},
{"word":"Integritätsring","description":"kommutativer Ring $R$ mit $ab\\neq 0$ für alle $a,b\\in R\\setminus\\{0\\}$, erlaubt Kürzen in Gleichungen"},
{"word":"größter gemeinsamer Teiler"},
{"word":"Bézout-Identität","description":"für alle $a,n\\in\\mathbb{Z}$ existieren $x,y\\in\\mathbb{Z}$ mit $\\textrm{ggT}(a,n)=ax+ny$"},
{"word":"Euklidischer Algorithmus","description":"Algorithmus zur Berechnung des ggT mithilfe von Division mit Rest"},
{"word":"euklidisch","description":"Integritätsring $R$ mit einer Gradfunktion $\\delta:R\\setminus\\{0\\}\\rightarrow\\mathbb{N}_0$"},
{"word":"Euklidischer Ring","description":"Integritätsring $R$ mit einer Gradfunktion $\\delta:R\\setminus\\{0\\}\\rightarrow\\mathbb{N}_0$"},
{"word":"Gradfunktion","description":"Abbildung $\\delta:R\\setminus\\{0\\}\\rightarrow\\mathbb{N}_0$ auf einem Integritätsring $R$, sodass für alle $x,y\\in R$ mit $y\\neq 0$ Elemente $q,r\\in R$ existieren mit $x=qy+r$ und $\\delta(r)<\\delta(y)$ oder $\\delta=0$"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"}
]
},
{
"type":"topic",
"name":"Körper",
"words":[
{"word":"Körper","description":"kommutativer Ring $(K,+,\\cdot)$ mit $K^\\times=K\\setminus\\{0\\}$"},
{"word":"Körperaxiome","description":"Gruppeneigenschaften von $(K,+)$ (K1-K4) und $(K\\setminus\\{0\\},\\cdot)$ (K5-K8) sowie Distributivität (K9)"},
{"word":"Teilkörper","description":"Teilring der auch ein Körper ist"},
{"word":"endlicher Körper","description":"endlicher Körper $\\mathcal{F}_n$ mit $n$ elementen, in der Vorlesung vor allem am Beispiel $\\mathcal{F}_p:=\\mathcal{Z}/p\\mathcal{Z}$ für Primzahlen $p$ bekannt"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"},
{"word":"Induktionsschritt"}
]
},
{
"type":"topic",
"name":"Polynome",
"words":[
{"word":"Polynom","description":"Konstrukt der Form $P=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ für ein $n\\in\\mathbb{N}_0$ und Koeffizienten $a_0,...,a_n\\in R$ aus einem kommutativen Ring $R$, formal definiert als Folge $(a_0,a_1,...)\\in R^{\\mathbb{N}_0}$ mit nur endlich vielen Einträgen ungleich 0"},
{"word":"Koeffizient","description":"Vorfaktor vor einem der Terme eines Polynoms"},
{"word":"Monom","description":"Polynom mit nur einem Term, bzw. nur einem Koeffizienten $a_n\\in R$ ungleich 0"},
{"word":"Polynomring","description":"kommutativer Ring $R[x]$ aller Polynome auf einem kommutativen Ring $R$"},
{"word":"Nullpolynom","description":"Nullelement des Polynomrings, bzw. Polynom bei dem alle Koeffizienten Null sind"},
{"word":"Polynomfunktion","description":"durch Auswerten eines Polynoms gegebene Abbildung"},
{"word":"Nullfunktion","description":"Funktion die jeden Wert auf das Nullelement der betrachteten Struktur abbildet"},
{"word":"Grad","description":"größter Index dessen Koeffizient ungleich Null ist, bzw. $-\\infty$ für das Nullpolynom, bezeichnet mit $\\textrm{deg}(P)$"},
{"word":"Polynomdivision","description":"Ermittlung von Polynomen $Q,R\\in R[x]$ mit $F=QG+R$ und $\\textrm{deg}(R)<\\textrm{deg}(G)$ für gegebene Polynome $F,G\\in R[x]$"},
