{"word":"unipotent","description":"Endomorphismus $f\\in\\End_K(V)$ mit $(f-\\id_V)^k=0$ für ein $k\\in\\setN$"},
{"word":"Jordan-Chevalley-Zerlegung","description":"Zerlegung $f=f_d+f_n$ eines Endomorphismus $f\\in\\End_K(V)$ in einen diagonalisierbaren Teil $f_d\\in\\End_k(V)$ und einen damit kommutierenden nilpotenten Teil $f_n\\in\\End_K(V)$, bzw. Zerlegung $f=f_d\\circ f_u$ eines Automorphismus $f\\in\\Aut_K(V)$ in einen diagonalisierbaren Teil $f_d\\in\\Aut_K(V)$ und einen damit kommutierenden unipotenten Teil $f_u\\in\\Aut_K(V)$, in endlichdimensionalen Vektorräumen über algebraisch abgeschlossenen Körpern immer existent und eindeutig"},
{"word":"bilinear","description":"multilineare Abbildung mit zwei Argumenten, d.h. Abbildung $f:V\\times V\\to W$ mit $f(u+\\alpha v,w)=f(u,w)+\\alpha f(v,w)$ und $f(u,v+\\alpha w)=f(u,v)+\\alpha f(u,w)$ für alle $u,v,w\\in V$ und $\\alpha\\in K$"},
{"word":"Isometrie","description":"lineare Abbildung $f:V\\to W$ zwischen zwei normierten Vektorräumen $(V,\\norm\\cdot_V)$ und $(W,\\norm\\cdot_W)$ mit $\\norm{f(v)}_W=\\norm v_V$ für alle $v\\in V$, Spezialfall von Isometrien zwischen metrischen Räumen","notes":["erhält für von Skalarprodukten induzierte Normen immer auch dieses Skalarprodukt, d.h. es gilt $\\langle f(v),f(w)\\rangle_W=\\langle v,w\\rangle_V$ für alle $v,w\\in V$"]},
{"word":"Isometriegruppe","description":"Gruppe $\\Aut_\\setK(V,\\norm\\cdot)\\subseteq\\Aut_\\setK(V)$ aller Isometrien eines endlichdimensionalen normierten $\\setK$-Vektorraums $V$"},
{"word":"orthogonal","description":"Endomorphismus $f:V\\to V$ eines euklidischen Vektorraums $V$ mit $\\langle f(v),f(w)\\rangle=\\langle v,w\\rangle$ für alle $v,w\\in V$, bzw. allgemeiner Abbildung zwischen euklidischen Vektorräumen die das Skalarprodukt erhält"},
{"word":"unitär","description":"Endomorphismus $f:V\\to V$ eines unitären Vektorraums $V$ mit $\\langle f(v),f(w)\\rangle=\\langle v,w\\rangle$ für alle $v,w\\in V$, bzw. allgemeiner Abbildung zwischen unitären Vektorräumen die das Skalarprodukt erhält"}
]
},
{
...
...
@@ -865,15 +870,27 @@
{"word":"Jordan'sche Normalform","description":"Blockdiagonalmatrix $\\textrm{Diag}(A_1,...,A_k)$ mit $A_i:=\\textrm{Diag}(J_{e_{i1}}(\\lambda_i),...,J_{e_{im_i}}(\\lambda_i))$ und $e_{i1}\\leq...\\leq e_{im_i}$ für eine Matrix $A$ mit paarweise verschiedenen Eigenwerten $\\lambda_1,...,\\lambda_i$ deren Minimalpolynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, immer zu $A$ ähnlich und bis auf Umordnen der $\\lambda_i$ bzw. $A_i$ eindeutig bestimmt"},
{"word":"Jordan-Diagramm","description":"linksbündiges Diagramm aus Zeilen monoton fallender Länge für einen Endomorphismus $f\\in\\End_K(V)$ und einen Eigenwert $\\lambda$, sodass die Einträge der ersten $r$ Zeilen zusammen jeweils eine Basis von $K_r:=\\ker((f-\\lambda\\id_V)^r)$ bilden und von je zwei übereinanderstehenden Vektoren der obere durch Anwendung von $f-\\lambda\\id_V$ aus dem unteren hervorgeht"},
{"word":"Jordan-Basis","description":"Basis in der die Abbildungsmatrix eines gegebenen Endomorphismus $f\\in\\End_K(V)$ Jordan-Normalform annimmt"},
{"word":"positiv definit","description":"Matrix $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitische Matrix $A\\in\\setC^{n\\times n}$ mit $\\langle v,v\\rangle_A=x^tAx>0$ für alle $v\\in\\setR^n$ bzw. $v\\in\\setC^n$, geschrieben $A>0$","notes":["für symmetrische Matrizen $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitesche Matrizen $A\\in\\setC^{n\\times n}$ genau dann der Fall wenn diese nur strikt positive Eigenwerte haben"]},
{"word":"negativ definit","description":"Matrix $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitische Matrix $A\\in\\setC^{n\\times n}$ mit $\\langle v,v\\rangle_A=x^tAx<0$ für alle $v\\in\\setR^n$ bzw. $v\\in\\setC^n$, geschrieben $A<0$","notes":["für symmetrische Matrizen $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitesche Matrizen $A\\in\\setC^{n\\times n}$ genau dann der Fall wenn diese nur strikt negative Eigenwerte haben"]},
{"word":"positiv semidefinit","description":"Matrix $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitische Matrix $A\\in\\setC^{n\\times n}$ mit $\\langle v,v\\rangle_A=x^tAx\\geq0$ für alle $v\\in\\setR^n$ bzw. $v\\in\\setC^n$, geschrieben $A\\geq0$","notes":["für symmetrische Matrizen $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitesche Matrizen $A\\in\\setC^{n\\times n}$ genau dann der Fall wenn diese nur nicht-negative Eigenwerte haben"]},
{"word":"negativ semidefinit","description":"Matrix $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitische Matrix $A\\in\\setC^{n\\times n}$ mit $\\langle v,v\\rangle_A=x^tAx\\leq0$ für alle $v\\in\\setR^n$ bzw. $v\\in\\setC^n$, geschrieben $A\\leq0$","notes":["für symmetrische Matrizen $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitesche Matrizen $A\\in\\setC^{n\\times n}$ genau dann der Fall wenn diese nur nicht-positive Eigenwerte haben"]},
{"word":"orthogonal","description":"reelle Matrix $A\\in\\setR^{n\\times n}$ mit $A^tA=1$, deren Spaltenvektoren also alle normiert und rechtwinklig zueinander sind"},
{"word":"positiv definit","description":"Matrix $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitesche Matrix $A\\in\\setC^{n\\times n}$ mit $\\langle v,v\\rangle_A=x^tAx>0$ für alle $v\\in\\setR^n$ bzw. $v\\in\\setC^n$, geschrieben $A>0$","notes":["für hermitesche Matrizen genau dann der Fall wenn diese nur strikt positive Eigenwerte haben","für hermitesche Matrizen genau dann der Fall wenn alle führenden Hauptminoren positiv sind"]},
{"word":"negativ definit","description":"Matrix $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitesche Matrix $A\\in\\setC^{n\\times n}$ mit $\\langle v,v\\rangle_A=x^tAx<0$ für alle $v\\in\\setR^n$ bzw. $v\\in\\setC^n$, geschrieben $A<0$","notes":["für hermitesche Matrizen genau dann der Fall wenn diese nur strikt negative Eigenwerte haben","für hermitesche Matrizen genau dann der Fall wenn alle geraden führenden Hauptminoren positiv und alle ungeraden führenden Hauptminoren negativ sind"]},
{"word":"positiv semidefinit","description":"Matrix $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitesche Matrix $A\\in\\setC^{n\\times n}$ mit $\\langle v,v\\rangle_A=x^tAx\\geq0$ für alle $v\\in\\setR^n$ bzw. $v\\in\\setC^n$, geschrieben $A\\geq0$","notes":["für hermitesche Matrizen genau dann der Fall wenn diese nur nicht-negative Eigenwerte haben"]},
{"word":"negativ semidefinit","description":"Matrix $A\\in\\setR^{n\\times n}$ bzw. hermitesche Matrix $A\\in\\setC^{n\\times n}$ mit $\\langle v,v\\rangle_A=x^tAx\\leq0$ für alle $v\\in\\setR^n$ bzw. $v\\in\\setC^n$, geschrieben $A\\leq0$","notes":["für hermitesche Matrizen genau dann der Fall wenn diese nur nicht-positive Eigenwerte haben"]},
{"word":"indefinit","description":"Matrix die weder positiv noch negativ semidefinit ist","notes":["für hermitesche Matrizen genau dann der Fall wenn diese sowohl positive als auch negative Eigenwerte besitzen"]},
{"word":"Untermatrix","synonyms":["Streichungsmatrix"],"description":"Matrix die aus einer gegebenen Matrix durch Streichen von Zeilen und Spalten entsteht"},
{"word":"Unterdeterminante","synonyms":["Minor"],"description":"Determinante einer quadratischen Untermatrix, die also aus einer gegebenen anderen Matrix durch Streichen von Zeilen und Spalten entsteht","notes":["für $k\\times k$-Untermatrizen auch $k$-ter Minor genannt"]},
{"word":"Hauptminor","description":"Determinante einer quadratischen Untermatrix bei der jeweils Zeilen und Spalten mit dem gleichen Index gestrichen wurden"},
{"word":"führender Hauptminor","description":"Determinante der Untermatrix die durch Streichen aller Zeilen und Spalten außer den ersten $k$ entsteht, genannt $k$-ter führender Hauptminor"},
{"word":"Hauptminorenkriterium","description":"hermitesche Matrizen sind genau dann positiv definit wenn alle führenden Hauptminoren positiv sind, und genau dann negativ definit wenn alle geraden führenden Hauptminoren positiv und alle ungeraden führenden Hauptminoren negativ sind"},
{"word":"orthogonal","description":"Matrix $A\\in\\setR^{n\\times n}$ mit $A^t=A^{-1}$, deren Spaltenvektoren also alle normiert und rechtwinklig zueinander sind","notes":["hat nur Eigenwerte $\\lambda$ mit $\\abs\\lambda=1$, und eine Determinante mit $\\abs{\\det(A)}=1$"]},
{"word":"unitär","description":"Matrix $A\\in\\setC^{n\\times n}$ mit $A^\\dagger=A^{-1}$, deren Spaltenvektoren also alle normiert und rechtwinklig zueinander sind","notes":["hat nur Eigenwerte $\\lambda$ mit $\\abs\\lambda=1$, und eine Determinante mit $\\abs{\\det(A)}=1$"]},
{"word":"orthogonale Gruppe","description":"Gruppe $O(n)\\subseteq\\setR^{n\\times n}$ aller orthogonalen $n\\times n$-Matrizen"},
{"word":"unitäre Gruppe","description":"Gruppe $U(n)\\subseteq\\setC^{n\\times n}$ aller unitären $n\\times n$-Matrizen"},
{"word":"spezielle orthogonale Gruppe","description":"Gruppe $\\SO(n)\\subseteq O(n)$ aller orthogonalen $n\\times n$-Matrizen mit der Determinante $1$, also aller Drehmatrizen"},
{"word":"spezielle unitäre Gruppe","description":"Gruppe $\\SU(n)\\subseteq U(n)$ aller unitären $n\\times n$-Matrizen mit der Determinante $1$"},
{"word":"Drehmatrix","description":"orthogonale Matrix mit der Determinante $1$, z.B. $\\begin{pmatrix}\\cos\\varphi&-\\sin\\varphi\\\\\\sin\\varphi&\\cos\\varphi\\end{pmatrix}\\in\\Gl_2(\\setR)$"},
{"word":"Erzeugende","description":"Matrix $T\\in\\setR^{n\\times n}$ mit $e^T=A$ für eine Drehmatrix $A\\in\\SO(n)$"}
{"word":"Erzeugende","description":"Matrix $T\\in\\setR^{n\\times n}$ mit $e^T=A$ für eine Drehmatrix $A\\in\\SO(n)$"},
{"word":"Satz vom Fußball","description":"jede orientierungserhaltende Isometrie des $\\setR^3$ besitzt einen von Null verschiedenen Fixpunkt, bzw. allgemeiner hat jede Matrix $A\\in\\SO(n)$ mit ungeradem $n$ den Eigenwert $1$"},
{"word":"Iwasawa-Zerlegung","description":"Zerlegung invertierbarer Matrizen $A\\in\\Gl_n(\\setK)$ in ein Produkt $B\\cdot C\\cdot D$ einer orthogonalen Matrix $B$ mit einer Diagonalmatrix $C$ mit positiven Diagonaleinträgen und einer oberen Dreiecksmatrix $D$ mit Einsen auf der Diagonalen, für alle $A\\in\\Gl_n(\\setK)$ eindeutig bestimmt"},
{"word":"QR-Zerlegung","description":"Zerlegung von Matrizen $A\\in\\setR^{m\\times n}$ mit $m\\geq n$ in ein Produkt $Q\\cdot R$ einer Matrix $Q\\in\\setR^{m\\times n}$ mit orthonormalen Spalten mit einer oberen Dreiecksmatrix $R\\in\\setR^{n\\times n}$, für alle $A\\in\\setR^{m\\times n}$ mit $\\rk(A)=n$ eindeutig bestimmt"}
]
},
{
...
...
@@ -965,7 +982,7 @@
{"word":"Orthonormalbasis","description":"Basis aus paarweise zueinander orthogonalen normierten Vektoren, d.h. mit $\\langle v_i,v_j\\rangle=\\delta_{ij}$ für alle darin enthaltenen Vektoren $v_i,v_j$"},
{"word":"Orthogonalprojektion","description":"Epimorphismus $p_U:V\\twoheadrightarrow U,v\\mapsto\\sum_{i=1}^n\\langle u_i,v\\rangle\\cdot u_i$ für einen endlichdimensionalen Untervektorraum $U\\subseteq V$ mit einer Orthonormalbasis $u_1,...,u_n$"},
{"word":"Gram-Schmidt-Verfahren","description":"Verfahren zur Konstruktion eines Orthonormalsystems aus einem System linear unabhängiger Vektoren, durch schrittweises Anwenden der Orthogonalprojektion aller vorherigen Vektoren auf den jeweils nächsten und anschließendes Normieren"},
{"word":"Orthokomplement","description":"Untervektorraum $U^\\perp:=\\{v\\in V\\mid v\\perp U\\}\\subseteq V$ für ein $U\\subseteq V$"}
{"word":"Orthokomplement","description":"Untervektorraum $U^\\perp:=\\{v\\in V\\mid v\\perp U\\}\\subseteq V$ für ein $U\\subseteq V$","notes":["erfüllt für endlichdimensionale Unterräume $U\\subseteq V$ $V=U\\oplus U^\\perp$ und $(U^\\perp)^\\perp=U$, auch wenn $V$ und $U^\\perp$ nicht endlichdimensional sind"]}
]
},
{
...
...
@@ -1042,7 +1059,7 @@
{"word":"Produktmetrik","description":"Metrik $d:X\\times X\\to\\setR,((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))\\mapsto\\sqrt{\\sum_{k=1}^nd_k(x_k,y_k)^2}$ auf dem Mengenprodukt $X:=X_1\\times...\\times X_n$ metrischer Räume $(X_1,d_1),...,(X_n,d_n)$"},
{"word":"kartesisches Produkt","description":"metrischer Raum $(X,d)$ des Mengenprodukts $X:=X_1\\times...\\times X_n$ mit der Produktmetrik $d$ von metrischen Räumen $(X_1,d_1),...,(X_n,d_n)$"},
{"word":"Maximumsmetrik","description":"Metrik $d:\\setC^n\\times\\setC^n,((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))\\mapsto\\max\\{\\abs{x_1-y_1},...,\\abs{x_n-y_n}\\}$ im $\\setR^n$ oder $\\setC^n$"},
{"word":"Isometrie","description":"abstandserhaltende Bijektion $f$ zwischen metrischen Räumen $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$, d.h. bijektive Abbildung $f:X\\to Y$ mit $d_X(x,y)=d_Y(f(x),f(y))$ für alle $x,y\\in X$"},
{"word":"Isometrie","description":"abstandserhaltende Abbildung $f$ zwischen metrischen Räumen $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$, d.h. Abbildung $f:X\\to Y$ mit $d_X(x,y)=d_Y(f(x),f(y))$ für alle $x,y\\in X$"},
{"word":"isometrisch","description":"metrische Räume zwischen denen eine Isometrie besteht"},
{"word":"Kugel","synonyms":["offene Kugel"],"description":"Menge $K(x,\\varepsilon):=\\{y\\in X\\mid d(x,y)<\\varepsilon\\}$ für ein $\\varepsilon>0$ und einen Punkt $x$ eines metrischen Raumes $(X,d)$"},
{"word":"abgeschlossene Kugel","description":"Menge $\\cl(K(x,\\varepsilon))=\\{y\\in X\\mid d(x,y)\\leq\\varepsilon\\}$ für ein $\\varepsilon>0$ und einen Punkt $x$ eines metrischen Raumes $(X,d)$"},
...
...
@@ -1286,9 +1303,7 @@
{"word":"zweite partielle Ableitung","description":"partielle Ableitung $\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x_j\\partial x_i}$ der partiellen Ableitung $\\frac{\\partial f}{\\partial x_i}$ einer Funktion $f:U\\subseteq\\setR^n\\to E$"},
{"word":"Lemma von Schwarz","description":"bei $k$-fach stetig differenzierbaren Funktionen ist die Reihenfolge des Differenzierens für alle partiellen Ableitungen der Ordnung $k$ oder kleiner irrelevant"},
{"word":"mehrdimensionales Taylorpolynom","description":"Polynom $T_n(f,x_0):=\\sum_{\\abs\\alpha\\leq k}\\frac{1}{\\alpha!}\\frac{\\partial^{\\abs\\alpha}f}{\\partial x^\\alpha}(x_0)(x-x_0)^\\alpha$ für ein $f\\in C^{k+1}(U,\\setR)$ und ein $x_0\\in U$","notes":["hat als Restglied $R_n(f,x_0):=f-T_n(f,x_0)=\\sum_{\\abs\\alpha=k+1}\\frac{1}{\\alpha!}\\frac{\\partial^{\\abs\\alpha}f}{\\partial x^\\alpha}(\\xi)(x-x_0)^\\alpha$ für ein $\\xi\\in\\overline{xx_0}\\setminus\\{x,x_0\\}$ für alle $x\\in U\\setminus\\{x_0\\}$ mit $\\overline{xx_0}\\subseteq U$, wobei $\\xi$ also auch von $x$ abhängt"]},
{"word":"Hesse-Matrix","description":"Matrix $\\textrm{Hess }f(u):=\\left(\\frac{\\partial^2f}{\\partial x_i\\partial x_j}(u)\\right)_{i,j\\in\\{1,...,n\\}}\\in\\Mat(n\\times n,\\setR)$ für eine zweifach stetig differenzierbare Funktion $f:U\\subseteq\\setR^n\\to\\setR$ und ein $u\\in\\setR$"},
{"word":"Hauptminor","description":"Matrix die aus einer quadratischen Matrix durch Streichen von Zeilen und Spalten mit jeweils demselben Index entsteht"},
{"word":"führender Hauptminor","description":"Matrix $A(k):=(a_{ij})_{i,j\\in\\{1,..,k\\}}\\in\\Mat(k\\times k,K)$ für eine quadratische Matrix $A=(a_{ij})\\in\\Mat(n\\times n,K)$, d.h. Matrix die durch Streichen aller Zeilen und Spalten außer den ersten $k$ aus $A$ entsteht, oft auch einfach $k$-ter Hauptminor genannt"},
{"word":"Hesse-Matrix","description":"Matrix $\\textrm{Hess }f(u):=\\left(\\frac{\\partial^2f}{\\partial x_i\\partial x_j}(u)\\right)_{i,j\\in\\{1,...,n\\}}\\in\\Mat(n\\times n,\\setR)$ für eine zweifach stetig differenzierbare Funktion $f:U\\subseteq\\setR^n\\to\\setR$ und ein $u\\in\\setR$","notes":["auch als $(0,2)$-Tensor auffassbar"]},
{"word":"kritisch","synonyms":["kritischer Punkt"],"description":"Punkt $x_0\\in\\setR^n$ in dem das Differential $Df(x_0)$ einer Funktion $f:U\\subseteq\\setR^n\\to\\setR^m$ nicht surjektiv ist, z.B. im Fall $m=1$ Punkt mit $\\grad f(x_0)=0$"},
{"word":"Diffeomorphismus","description":"stetig differenzierbare bijektive Funktion $f$ deren Umkehrfunktion ebenfalls stetig differenzierbar ist, im Fall von $k$-facher stetiger Differenzierbarkeit auch $C^k$-Diffeomorphismus genannt"},
{"word":"Polarkoordinaten","description":"durch die Abbildung $f(r,\\varphi):=(r\\cos(\\varphi),r\\sin(\\varphi))$ gegebene Koordinaten $(r,\\varphi)$"},
