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"\\setN": "\\mathbb{N}",
"\\setZ": "\\mathbb{Z}",
"\\setQ": "\\mathbb{Q}",
"\\setR": "\\mathbb{R}",
"\\setC": "\\mathbb{C}",
"\\norm": "\\lVert#1\\rVert",
"\\conj": "\\overline{#1}",
"\\cl": "\\textrm{cl}",
"\\Int": "\\textrm{Int}",
"\\HP": "\\textrm{HP}",
"\\Iso": "\\textrm{Iso}",
"\\varlimsup": "\\overline{\\lim}",
"\\varliminf": "\\underline{\\lim}",
"\\arccot": "\\textrm{arccot}",
"\\arsinh": "\\textrm{arsinh}",
"\\arcosh": "\\textrm{arcosh}",
"\\artanh": "\\textrm{artanh}",
"\\arcoth": "\\textrm{arcoth}",
"\\im": "\\textrm{im}",
"\\cok": "\\textrm{cok}",
"\\rk": "\\textrm{rk}",
"\\Hom": "\\textrm{Hom}",
"\\End": "\\textrm{End}",
"\\Aut": "\\textrm{Aut}",
"\\Mat": "\\textrm{Mat}",
"words": [
{
"type": "topic",
"name": "Aussagenlogik",
"words": [
{"word": "Logik"},
{"word": "Aussagenlogik"},
{"word": "Aussage"},
{"word": "wahr"},
{"word": "falsch"},
{"word": "wahre Aussage"},
{"word": "falsche Aussage"},
{"word": "Tautologie"},
{"word": "Widerspruch"},
{"word": "Junktor"},
{"word": "Wahrheitstabelle"},
{"word": "nicht"},
{"word": "und"},
{"word": "oder"},
{"word": "entweder oder"},
{"word": "äquivalent"},
{"word": "genau dann wenn"},
{"word": "Negation"},
Ben Eltschig
committed
{"word": "De Morgan'sche Regeln", "description": "Tautologien $\\neg(A\\land B)\\Leftrightarrow(\\neg A)\\lor(\\neg B)$, $\\neg(A\\lor B)\\Leftrightarrow(\\neg A)\\land(\\neg B)$"},
{"word": "Idempotenz", "description": "Tautologien $A\\land A\\Leftrightarrow A$, $A\\lor A\\Leftrightarrow A$"},
{"word": "Beweis"},
{"word": "direkter Beweis"},
{"word": "indirekter Beweis"},
{"word": "Beweis durch Widerspruch"},
{"word": "Kontraposition"},
{"word": "Fallunterscheidung"},
{"word": "Beweisschritt"},
{"word": "Prädikatenlogik", "description": "Aussagenlogik bezüglich von Parametern abhängiger Aussagen"},
{"word": "Quantor"},
{"word": "Allquantor"},
{"word": "Existenzquantor"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Mengenlehre",
"words": [
{"word": "Mengenlehre"},
{"word": "Menge"},
{"word": "Familie", "description": "Konstrukt das jedem Element einer Indexmenge einen Wert zuordnet, geschrieben $(a_i)_{i\\in I}$"},
{"word": "Tupel", "description": "Familie mit der Indexmenge $I=\\{1,2,...,n\\}$ für ein $n\\in\\setN$, geschrieben $(a_1,a_2,...,a_n)$"},
{"word": "Paar", "description": "Tupel mit zwei Elementen"},
{"word": "Tripel", "description": "Tupel mit drei Elementen"},
{"word": "Quadrupel", "description": "Tupel mit vier Elementen"},
{"word": "Folge", "description": "Familie $(a_n)$ mit der Indexmenge $\\setN$ oder $\\setN_0$, bzw. Abbildung $a:\\setN\\to X,n\\mapsto a_n$ auf eine Menge $X$"},
{"word": "Element"},
{"word": "Russelsches Paradoxon", "description": "Paradoxon der \"Menge\" aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten"},
{"word": "leere Menge", "synonyms": ["leer"]},
{"word": "Teilmenge"},
{"word": "echte Teilmenge"},
{"word": "unechte Teilmenge"},
{"word": "Schnittmenge", "synonyms": ["Durchschnitt"]},
{"word": "Vereinigung"},
{"word": "disjunkte Vereinigung"},
{"word": "disjunkt"},
{"word": "Differenzmenge", "synonyms": ["Komplement"]},
{"word": "Produktmenge", "synonyms": ["Produkt"]},
{"word": "Potenzmenge", "description": "Menge $\\mathcal{P}(A)$ aller Teilmengen einer Menge $A$"},
{"word": "externe disjunkte Vereinigung", "description": "$\\bigsqcup_{i\\in I}M_i:=\\bigcup_{i\\in I}M_i\\times\\{i\\}$"},
{"word": "Mächtigkeit", "synonyms": ["Kardinalität"], "description": "für endliche Mengen $A$ Anzahl $|A|=\\#A=\\textrm{card}(A)$ ihrer Elemente, für unendliche Mengen Äquivalenzklasse bezüglich Gleichmächtigkeit"},
{"word": "gleichmächtig", "description": "Mengen $A,B$ zwischen denen eine Bijektion besteht, geschrieben $|A|=|B|$"},
{"word": "mächtiger", "description": "Menge $A$ im Vergleich zu einer Menge $B$, wenn $B$ zu einer Teilmenge von $A$ aber nicht zu $A$ selbst gleichmächtig ist, geschrieben $|A|>|B|$"},
{"word": "endlich", "description": "Menge $A$ mit $|A|<|\\setN|$"},
{"word": "höchstens abzählbar", "description": "Menge $A$ mit $|A|\\leq|\\setN|$"},
{"word": "abzählbar", "description": "Menge $A$ mit $|A|=|\\setN|$"},
{"word": "unendlich", "description": "Menge $A$ mit $|A|\\geq|\\setN|$"},
{"word": "überabzählbar", "description": "Menge $A$ mit $|A|>|\\setN|$"},
{"word": "Kontinuumshypothese", "description": "Hypothese dass es keine Menge $A$ mit $|\\setN|<|A|<|\\setR|$ gibt, hat sich als nicht entscheidbar herausgestellt"},
{"word": "Cantors erstes Diagonalargument", "description": "Beweis der Abzählbarkeit von $\\setN^2$ durch diagonales Ablaufen der Gitterpunkte"},
{"word": "Cantors zweites Diagonalargument", "description": "Beweis der Überabzählbarkeit von $\\setR$ durch Konstruktion einer nicht in der Folge vorkommenden Zahl für jede reelle Folge"}
{
"type": "topic",
"name": "Zahlenbereiche",
"words": [
{"word": "natürliche Zahlen", "description": "Menge $\\setN:=\\{1,2,...\\}$"},
{"word": "ganze Zahlen", "description": "Menge $\\setZ:=\\{0,\\pm 1,\\pm 2,...\\}$"},
{"word": "rationale Zahlen", "description": "Menge $\\setQ:=\\{\\frac{m}{n}\\mid m\\in\\setZ,n\\in\\setN\\}$"},
{"word": "reelle Zahlen", "description": "Vervollständigung $\\setR$ der rationalen Zahlen $\\setQ$"},
{"word": "komplexe Zahlen", "description": "algebraischer Abschluss $\\setC$ der rationalen Zahlen $\\setR$, bzw. alle Zahlen der Form $a+bi$ für $a,b\\in\\setR$ mit $i^2:=-1$"},
{"word": "Peano-Axiome", "description": "grundlegende Axiome der Menge $\\setN_0$, nämlich $0\\in\\setN_0$, $n+1\\in\\setN$ für alle $n\\in\\setN_0$, $n+1=m+1\\Rightarrow n=m$ für alle $n,m\\in\\setN_0$, und $(0\\in X\\land\\forall n\\in\\setN_0:(n\\in X\\Rightarrow n+1\\in X))\\Rightarrow\\setN_0\\subseteq X$"},
{"word": "rational"},
{"word": "irrational"},
{"word": "reell"},
{"word": "positiv"},
{"word": "negativ"},
{"word": "Vorzeichen"},
{"word": "komplex"},
{"word": "imaginär"},
{"word": "imaginäre Einheit"},
{"word": "Realteil", "description": "Zahl $a\\in\\setR$ für ein $z=a+bi\\in\\setC$, geschrieben $\\Re(z)$"},
{"word": "Imaginärteil", "description": "Zahl $b\\in\\setR$ für ein $z=a+bi\\in\\setC$, geschrieben $\\Im(z)$"},
{"word": "komplexe Ebene", "description": "Darstellung von $\\setC$ als Ebene, analog zur Darstellung von $\\setR$ als Zahlenstrahl"},
{"word": "Argument", "description": "Winkel $\\varphi$ zwischen einer komplexen Zahl $z$ und der reellen Achse in der komplexen Ebene"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "reelle Zahlen",
"words": [
{"word": "Anordnungsaxiom", "description": "$\\setR$ ist ein angeordneter Körper, d.h. es existiert eine unter Addition und Multiplikation abgeschlossene Teilmenge $\\setR^+\\subseteq\\setR$ mit $-\\setR^+\\dot\\cup\\{0\\}\\dot\\cup\\setR^+=\\setR$"},
{"word": "Intervall"},
{"word": "Intervallgrenzen"},
{"word": "offenes Intervall", "description": "Menge $(a,b):=\\{x\\in\\setR\\mid a<x<b\\}$ aller reellen Zahlen zwischen zwei Zahlen $a,b\\in\\setR$"},
{"word": "halboffenes Intervall", "description": "Menge $[a,b):=\\{x\\in\\setR\\mid a\\leq x<b\\}$ oder $(a,b]:=\\{x\\in\\setR\\mid a<x\\leq b\\}$ aller reellen Zahlen zwischen zwei Zahlen $a,b\\in\\setR$, einschließlich einer der beiden Intervallgrenzen"},
{"word": "abgeschlossenes Intervall", "description": "Menge $[a,b]:=\\{x\\in\\setR\\mid a\\leq x\\leq b\\}$ aller reellen Zahlen zwischen zwei Zahlen $a,b\\in\\setR$, einschließlich der beiden Intervallgrenzen"},
{"word": "Länge", "description": "Differenz der beiden Intervallgrenzen eines Intervalls $I$, bezeichnet mit $L(I)$"},
{"word": "Dedekindscher Schnitt", "description": "Zerlegung eines angeordneten Körpers in zwei disjunkte, nichtleere Teilmengen $A,B$ mit $a<b$ für alle $a\\in A,b\\in B$, bezeichnet mit $(A|B)$"},
{"word": "Schnittzahl", "description": "Element $s\\in K$ eines angeordneten Körpers mit $a\\leq s\\leq b$ für alle Elemente $a\\in A,b\\in B$ der beiden Mengen eines Dedekindschen Schnitts $(A|B)$"},
{"word": "Vollständigkeitsaxiom", "description": "Vollständigkeit von $\\setR$ als metrischer Raum, bzw. Existenz einer Schnittzahl zu jedem Dedekindschen Schnitt von $\\setR$"},
{"word": "obere Schranke", "description": "Zahl $M\\in\\setR$ mit $a\\leq M$ für alle Elemente $a$ einer Menge $A\\subseteq\\setR$"},
{"word": "untere Schranke", "description": "Zahl $m\\in\\setR$ mit $a\\geq m$ für alle Elemente $a$ einer Menge $A\\subseteq\\setR$"},
{"word": "von oben beschränkt", "description": "Menge $A\\subseteq\\setR$ mit einer oberen Schranke $M\\in\\setR$"},
{"word": "von oben beschränkt", "description": "Menge $A\\subseteq\\setR$ mit einer unteren Schranke $m\\in\\setR$"},
{"word": "beschränkt", "description": "Menge $A\\subseteq{R}$ die von oben und unten beschränkt ist"},
{"word": "Supremum", "description": "kleinste obere Schranke $\\sup A$ einer von oben beschränkten nichtleeren Menge $A\\subseteq\\setR$"},
{"word": "Infimum", "description": "größte untere Schranke $\\inf A$ einer von unten beschränkten nichtleeren Menge $A\\subseteq\\setR$"},
{"word": "Maximum", "description": "Supremum $\\max A$ einer Menge $A\\subseteq\\setR$ das selbst in $A$ liegt"},
{"word": "Minimum", "description": "Infimum $\\min A$ einer Menge $A\\subseteq\\setR$ das selbst in $A$ liegt"},
{"word": "archimedisches Axiom", "description": "die Menge $\\setN$ ist nicht nach oben beschränkt, d.h. zu jedem $x\\in\\setR$ existiert ein $n\\in\\setN$ mit $x\\leq n$"},
{"word": "Intervallschachtelung", "description": "Folge abgeschlossener Intervalle $I_n\\subset\\setR$ sodass für alle $n\\in\\setN$ $I_{n+1}\\subseteq I_n$ gilt und zu jedem $\\varepsilon\\in\\setR^+$ ein $n\\in\\setN$ mit $L(I_n)<\\varepsilon$ existiert"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Rechenoperationen",
"words": [
{"word": "Addition"},
{"word": "Subtraktion"},
{"word": "Multiplikation"},
{"word": "Division"},
{"word": "Summe"},
{"word": "Differenz"},
{"word": "Produkt"},
{"word": "Quotient"},
{"word": "Fakultät", "description": "Produkt $n!:=\\prod_{j=1}^nj=1\\cdot 2\\cdot ...\\cdot n$ für ein $n\\in\\setN_0$"},
{"word": "Binomialkoeffizient", "description": "Produkt $\\binom{x}{k}:=\\prod_{j=1}^k\\frac{x-(j-1)}{j}=\\frac{x\\cdot(x-1)\\cdot...\\cdot(x-(k-1))}{k!}$ für ein $x\\in\\setR$ und $k\\in\\setN_0$"},
{"word": "Dreiecksungleichung", "description": "$|x+y|\\leq|x|+|y|$ für alle $x,y\\in\\setC$"},
{"word": "Potenz"},
{"word": "Basis"},
{"word": "Exponent"},
{"word": "Wurzel"},
{"word": "Binomischer Lehrsatz", "description": "$(x+y)^n=\\sum_{k=0}^n\\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$, gilt für alle $x,y\\in\\setC$ und $n\\in\\setN$"},
{"word": "bernoullische Ungleichung", "description": "$(1+x)^n\\geq 1+nx$, gilt für alle $x\\geq-1$ und $n\\in\\setN$"},
{"word": "geometrische Summe", "description": "Summe $\\sum_{k=0}^nx^k$ für ein $x\\in\\setR$ und $n\\in\\setN$, für $x\\neq 1$ gleich $\\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$"},
{"word": "komplexes Konjugat", "description": "Zahl $\\overline{z}:=a-bi\\in\\setC$ für ein $z=a+bi\\in\\setC$"}
{
"type": "topic",
"name": "Abbildungen",
"words": [
{"word": "Abbildung", "synonyms": ["Funktion","Zuordnung"], "description": "Konstrukt das jedem Element $x$ einer Definitionsmenge $X$ ein Element $f(x)$ einer Definitionsmenge $Y$ zuordnet, geschrieben $f:X\\to Y,x\\mapsto f(x)$"},
{"word": "Definitionsmenge"},
{"word": "Zielmenge"},
{"word": "Bild", "description": "Menge $f(A)$ aller Elemente auf die Elemente der Menge $A$ abgebildet werden, auch genannt $\\im(f)$ für das Bild der gesamten Definitionsmenge"},
{"word": "Urbild", "description": "Menge $f^{-1}(S)$ aller Elemente die auf ein Element von $S$ abgebildet werden"},
{"word": "Faser", "description": "Urbild $f^{-1}(y):=f^{-1}(\\{y\\})$ eines einzelnen Elements der Zielmenge"},
{"word": "Kern", "description": "Urbild $\\ker(f):=f^{-1}(\\{0\\})$ des Nullelements der auf der Zielmenge definierten Struktur"},
{"word": "surjektiv", "description": "Abbildung $f:X\\to Y$, die jedes $y\\in Y$ mindestens einem $x\\in X$ zuordnet"},
{"word": "injektiv", "description": "Abbildung $f:X\\to Y$, die jedes $y\\in Y$ höchstens einem $x\\in X$ zuordnet"},
{"word": "bijektiv", "synonyms": ["Bijektion"], "description": "Abbildung $f:X\\to Y$, die jedes $y\\in Y$ genau einem $x\\in X$ zuordnet"},
{"word": "Schubfachprinzip", "description": "Prinzip, dass Zuordnungen zwischen endlichen Mengen $X$ und $Y$ nicht surjektiv sind falls $|X|<|Y|$ ist, nicht injektiv falls $|X|>|Y|$ ist, und nur entweder bijektiv oder weder injektiv noch surjektiv falls $|X|=|Y|$ ist"},
{"word": "Verkettung", "synonyms": ["Komposition"], "description": "Abbildung $f\\circ g:X\\to Z,x\\mapsto f(g(x))$ für Abbildungen $g:X\\to Y,f:Y\\to Z$"},
{"word": "Identitätsabbildung", "synonyms": ["Identitätsfunktion"], "description": "Abbildung $\\id_X:X\\to X,x\\mapsto x$ für eine Menge $X$"},
{"word": "linksinvers", "description": "Funktion $g:Y\\to X$ zu einer Funktion $f:X\\to Y$, wenn $g\\circ f=\\id_X$ gilt"},
{"word": "rechtsinvers", "description": "Funktion $g:Y\\to X$ zu einer Funktion $f:X\\to Y$, wenn $f\\circ g=\\id_Y$ gilt"},
{"word": "invers", "synonyms": ["Umkehrabbildung","Umkehrfunktion"], "description": "links- und rechtsinverse Funktion $f^{-1}$ zu einer Funktion $f$"},
{"word": "Auswahlaxiom", "description": "Axiom, dass für jede Menge von nichtleeren Mengen eine Funktion existiert, die jede dieser Mengen auf eins ihrer Elemente abbildet"},
{"word": "Banach-Tarski-Paradoxon", "description": "Paradoxon, dass sich eine Kugel im $\\setR^3$ mithilfe des Auswahlaxioms so in endlich viele Teilmengen zerlegen lässt, dass aus diesen zwei neue Kugeln zusammengesetzt werden können"},
{"word": "Fixpunkt", "description": "Element $x^*\\in X$ das von einer Abbildung $f:X\\to X$ auf sich selbst abgebildet wird"},
{"word": "Nullstelle", "description": "Element $x\\in X$ das von einer Abbildung $f:X\\to Y$ auf das Nullelement von $Y$ abgebildet wird"},
{"word": "gerade", "description": "Funktion $f:\\setR\\to\\setR$ mit $f(-x)=f(x)$ für alle $x\\in\\setR$, analog auch für Funktionen auf $\\setC$ und anderen Gruppen"},
{"word": "ungerade", "description": "Funktion $f:\\setR\\to\\setR$ mit $f(-x)=-f(x)$ für alle $x\\in\\setR$, analog auch für Funktionen auf $\\setC$ und anderen Gruppen"},
{"word": "periodisch", "description": "Funktion $f:\\setR\\to\\setR$ mit $f(x+T)=f(x)$ für alle $x\\in\\setR$ und ein festes $T\\in\\setR$, analog auch für Funktionen auf $\\setC$ und anderen Halbgruppen"},
{"word": "Periode", "description": "Zahl $T\\in\\setR$ mit $f(x+T)=f(x)$ für alle $x\\in\\setR$ für eine Funktion $f:\\setR\\to\\setR$, analog auch für Funktionen auf $\\setC$ und anderen Halbgruppen"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Relationen",
"words": [
{"word": "Relation", "description": "Menge $R\\subseteq M^n$ von Tupeln von je $n$ Elementen von $M$ die miteinander in Verbindung stehen, für $n=2$ geschrieben $a\\sim b:\\Leftrightarrow(a,b)\\in R$"},
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{"word": "binäre Relation", "description": "Relation zwischen je zwei Elementen "},
{"word": "reflexiv", "description": "Relation $\\sim$ mit $a\\sim a$ für alle $a$"},
{"word": "symmetrisch", "description": "Relation $\\sim$ mit $a\\sim b\\Leftrightarrow b\\sim a$"},
{"word": "transitiv", "description": "Relation $\\sim$ mit $a\\sim b\\land b\\sim c\\Leftrightarrow a\\sim c$"},
{"word": "Äquivalenzrelation", "description": "Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist"},
{"word": "kongruent"},
{"word": "Kongruenz"},
{"word": "ähnlich"},
{"word": "teilbar"},
{"word": "modulo"},
{"word": "Äquivalenzklasse", "description": "Menge $[x]$ aller bezüglich einer Äquivalenzrelation zu $x$ bzw. zueinander in Verbindung stehender Elemente"},
{"word": "Repräsentant", "description": "einzelnes Element einer Äquivalenzklasse"},
{"word": "Repräsentantensystem", "description": "Teilmenge einer Menge, die genau ein Element jeder Äquivalenzklasse enthält"},
{"word": "Quotient", "description": "Menge $M/\\sim$ der Äquivalenzklassen, in die $M$ durch $\\sim$ zerlegt wird"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Ordnungsrelationen",
"words": [
{"word": "Ordnungsrelation"},
{"word": "partielle Ordnung", "description": "reflexive und transitive Relation $\\preceq$ mit $(a\\preceq b)\\land(b\\preceq a)\\Leftrightarrow a=b$"},
{"word": "Antisymmetrie"},
{"word": "totale Ordnung", "description": "partielle Ordnung mit $a\\preceq b$ oder $b\\preceq a$ für alle $a,b$"},
{"word": "vergleichbar"},
{"word": "Vergleichbarkeit"},
{"word": "Hasse-Diagramm", "description": "Darstellungsform von Ordnungsrelationen auf endlichen Mengen"},
{"word": "größtes Element"},
{"word": "maximales Element"},
{"word": "kleinstes Element"},
{"word": "minimales Element"},
{"word": "Wohlordnung", "description": "totale Ordnung auf einer Menge $M$ mit der Eigenschaft, dass jede Teilmenge von $M$ ein kleinstes Element besitzt"},
{"word": "Inklusion", "description": "Beziehung $\\subseteq$ zwischen Mengen, kann als partielle Ordnung auf einer Potenzmenge aufgefasst werden"},
{"word": "Kette", "description": "Menge $S\\subseteq\\mathcal{P}(M)$ von Teilmengen einer Menge $M$ die bezüglich Inklusion total geordnet ist, bzw. allgemeiner total geordnete Teilmenge einer partiell geordneten Menge"},
{"word": "Zorn's Lemma", "description": "jede nichtleere Menge $S\\subseteq\\mathcal{P}(M)$ von Teilmengen einer Menge $M$ mit der Eigenschaft dass die Vereinigungsmenge jeder Kette $K\\subseteq S$ auch in $S$ liegt besitzt ein bezüglich Inklusion maximales Element; Folgerung aus dem Auswahlaxiom"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Induktion",
"words": [
{"word": "Induktion", "synonyms": ["vollständige Induktion","induktiv"], "description": "sequentielles Beweisen einer Folge von Aussagen $A(n)$ mit $n\\in\\setN$ mithilfe der jeweils vorherigen, ausgehend von einem Induktionsanfang $A(0)$"},
{"word": "Induktionsanfang", "description": "erste der zu beweisenden Aussagen"},
{"word": "Induktionsvoraussetzung", "description": "Aussagen die erfüllt sein müssen um die Aussage $A(n+1)$ zu beweisen, im Normalfall $A(n)$"},
{"word": "Induktionsschritt", "description": "Beweis der jeweils nächsten Aussage mithilfe der bereits bewiesenen"}
},
{
"type": "topic",
"name": "Verknüpfungen",
"words": [
{"word": "Verknüpfung", "description": "Abbildung, die jedem Tupel $(a,b)\\in M\\times M$ ein weiteres Element aus $M$ zuordnet, bezeichnet $a\\circ b$, allgemeiner auch auf verschiedenen Mengen $M_1,M_2,...,M_n$ definiertbar"},
{"word": "assoziativ", "description": "Verknüpfung $\\circ$ mit $(a\\circ b)\\circ c=a\\circ(b\\circ c)$"},
{"word": "kommutativ", "description": "Verknüpfung $\\circ$ mit $a\\circ b=b\\circ a$"},
{"word": "distributiv", "description": "Verknüpfungen $+,\\cdot$ mit $a\\cdot(b+c)=(a\\cdot b)+(a\\cdot c)$ sowie $(a+b)\\cdot c=(a\\cdot c)+(b\\cdot c)$ für alle $a,b,c$"},
{"word": "Assoziativgesetz", "description": "$(a\\circ b)\\circ c=a\\circ(b\\circ c)$ für eine passende Verknüpfung $\\circ$"},
{"word": "Kommutativgesetz", "description": "$a\\circ b=b\\circ a$ für eine passende Verknüpfung $\\circ$"},
{"word": "Distributivgesetz", "description": "$a\\cdot(b+c)=(a\\cdot b)+(a\\cdot c)$ sowie $(a+b)\\cdot c=(a\\cdot c)+(b\\cdot c)$ für passende Verknüpfungen $+,\\cdot$"},
{"word": "Verknüpfungstafel", "description": "Darstellungsform von Verknüpfungen auf endlichen Mengen"},
{"word": "punktweise", "description": "Verknüpfung von Abbildungen die über eine Verknüpfung der Werte an einzelnen Punkte definiert wird, z.B. $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ für eine Verknüpfung $+$ auf der Zielmenge"},
{"word": "repräsentantenweise", "description": "Verknüpfung von Äquivalenzklassen die über eine Verknüpfung der Repräsentanten definiert wird, z.B. $[a]+[b]:=[a+b]$"},
{"word": "komponentenweise", "description": "Verknüpfung von z.B. Tupeln, Spaltenvektoren oder Matrizen die über eine Verknüpfung der einzelnen Einträge definiert wird, also z.B. $(a_1,a_2,...,a_n)+(b_1,b_2,...,b_n):=(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)$"},
{"word": "gliedweise", "description": "Verknüpfung von z.B. Folgen oder Reihen die über eine Verknüpfung der einzelnen Folgen- oder Reihenglieder definiert wird, also z.B. $(a_n)_{n\\in\\setN}+(b_n)_{n\\in\\setN}=(a_n+b_n)_{n\\in\\setN}$"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Strukturen",
"words": [
{"word": "algebraische Struktur", "description": "Menge mit darauf definierten Verknüpfungen, z.B. Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume und Algebren"},
{"word": "Unterstruktur", "description": "Teilmenge eine algebraischen Struktur die unter den darauf definierten Verknüpfungen abgeschlossen ist"},
{"word": "Homomorphismus", "description": "Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen die die jeweilige Struktur erhält"},
{"word": "Monomorphismus", "description": "injektiver Homomorphismus, geschrieben mit $\\hookrightarrow$"},
{"word": "Epimorphismus", "description": "surjektiver Homomorphismus, geschrieben mit $\\twoheadrightarrow$"},
{"word": "Isomorphismus", "description": "bijektiver Homomorphismus, geschrieben mit $\\overset{\\sim}{\\to}$"},
{"word": "isomorph", "description": "algebraische Strukturen zwischen denen ein Isomorphismus existiert, geschrieben $\\simeq$"},
{"word": "Endomorphismus", "description": "Homomorphismus einer Struktur auf sich selbst"},
{"word": "Automorphismus", "description": "Isomorphismus einer Struktur auf sich selbst"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Gruppen",
"words": [
{"word": "Gruppentheorie"},
{"word": "Halbgruppe", "description": "Menge $M$ mit assoziativer Verknüpfung $\\circ$"},
{"word": "abelsch", "description": "Gruppe oder Halbgruppe mit einer kommutativen Verknüpfung"},
{"word": "abelsche Halbgruppe"},
{"word": "linksneutral", "description": "Element $e\\in M$ mit $e\\circ a=a$ für alle $a\\in M$"},
{"word": "rechtsneutral", "description": "Element $e\\in M$ mit $a\\circ e=a$ für alle $a\\in M$"},
{"word": "neutrales Element", "description": "Element, das sowohl links- als auch rechtsneutral ist"},
{"word": "Monoid", "description": "Halbgruppe mit neutralem Element"},
{"word": "linksinvers", "description": "Element $b\\in M$ mit $b\\circ a=e_M$ für ein $a\\in M$"},
{"word": "rechtsinvers", "description": "Element $b\\in M$ mit $a\\circ b=e_M$ für ein $a\\in M$"},
{"word": "invers", "description": "Element $b\\in M$ mit $b\\circ a=a\\circ b=e_M$ für ein $a\\in M$"},
{"word": "Inverses", "description": "zu $a\\in M$ inverses Element $a^{-1}$"},
{"word": "Gruppe", "description": "Monoid mit Inversem zu jedem Element"},
{"word": "kommutative Gruppe"},
{"word": "abelsche Gruppe"},
{"word": "Kürzungsregel", "description": "$x=y\\Leftrightarrow c\\circ x=c\\circ y\\Leftrightarrow x\\circ c=y\\circ c$, gilt in allen Gruppen, Integritätsringen und Körpern"},
{"word": "Untergruppe", "description": "nichtleere Teilmenge $H$ einer Gruppe mit $ab^{-1}\\in H$ für alle $a,b\\in H$"},
{"word": "triviale Untergruppen", "description": "$\\{e\\}$ und die Gruppe selbst"},
{"word": "Ordnung", "description": "Anzahl $|G|$ der Elemente einer endlichen Gruppe $G$, bzw. Ordnung $\\textrm{ord}(g):=|\\langle g\\rangle|$ der von $g\\in G$ erzeugten zyklischen Untergruppe"},
{"word": "Satz von Lagrange", "description": "für jede Untergruppe $H$ einer endlichen Gruppe $G$ teilt $|H|$ $|G|$"},
{"word": "zyklische Untergruppe", "description": "Untergruppe $\\langle g\\rangle:=\\{g^n\\mid n\\in\\setZ\\}\\subseteq G$ für ein $g\\in G$, analog zum Aufspann eines Vektors"},
{"word": "zyklisch", "description": "Gruppe $G$ mit $\\langle g\\rangle=G$ für ein $g\\in G$"},
{"word": "erzeugte Untergruppe", "description": "Untergruppe $\\langle S\\rangle:=\\{s_1^{e_1}...s_n^{e_n}\\mid n\\in\\setN_0,s_i\\in S,e_i\\in\\setZ\\}$ für eine Menge $S\\subseteq G$, analog zum Aufspann einer Menge"},
{"word": "Gruppenhomomorphismus", "description": "Abbildung $\\varphi$ zwischen zwei Gruppen $H$ und $G$, mit $\\varphi(ab)=\\varphi(a)\\varphi(b)$"},
{"word": "Diedergruppe", "description": "Gruppe $D_n$ aller Isometrien in der Ebene, die ein regelmäßiges $n$-Eck auf sich selbst abbilden"},
{"word": "Quotient", "description": "Menge $G/K:=G/\\sim$ aller Äquivalenzklassen bezüglich der Relation $a\\sim b:\\Leftrightarrow a-b\\in K$ für abelsche Gruppen $K\\subseteq G$"},
{"word": "Quotientenabbildung", "description": "Epimorphismus $p:G\\twoheadrightarrow G/K,a\\mapsto[a]$ für abelsche Gruppen $K\\subseteq G$"},
{"word": "kommutieren", "description": "Diagramm von Homomorphismen, wenn die Verkettung entlang aller Pfade zwischen zwei Mengen jeweils dieselbe Abbildung ergibt"},
{"word": "kommutatives Diagramm", "description": "Diagramm von Homomorphismen, bei dem die Verkettung entlang aller Pfade zwischen zwei Mengen jeweils dieselbe Abbildung ergibt"},
{"word": "Konjugation", "description": "Linksmultiplikation mit dem Inversen eines Elements und Rechtsmultiplikation mit dem Element selbst, also z.B. $g^{-1}ag$"},
{"word": "Konjugationsabbildung", "description": "Automorphismus $c_g:G\\to G,a\\mapsto g^{-1}ag$ für ein $g\\in G$"},
{"word": "normal", "synonyms": ["normale Untergruppe", "Normalteiler"], "description": "Untergruppe $K\\subseteq G$ mit $c_g(K)\\subseteq K$ für alle $g\\in G$, geschrieben $K\\unlhd G$"},
{"word": "konjugierte Untergruppe", "description": "Untergruppe $c_g(K)=c^{-1}Kc$ für eine Untergruppe $K\\subseteq G$ und ein $g\\in G$"},
{"word": "Homomorphiesatz für Gruppen", "description": "für jeden Gruppenhomomorphismus $f:G\\to H$ ist $\\ker(f)$ ein Normalteiler von $G$ und $p\\circ\\overline{f}=f$ für die Quotientenabbildung $p:G\\twoheadrightarrow G/\\ker(f)$ und genau einen Isomorphismus $\\overline{f}$"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Permutationen",
"words": [
{"word": "Permutation", "description": "bijektive Abbildung der Menge $\\{1,2,...,n\\}$ auf sich selbst, also Umordnung von $n$ Objekten"},
{"word": "symmetrische Gruppe", "description": "Gruppe $\\mathfrak{S}_n$ aller Permutationen von $n$ Elementen bezüglich der Verkettung"},
{"word": "Transposition", "description": "Permutation $\\tau_{ij}\\in\\mathfrak{S}_n$ mit $i\\neq j$, $\\tau_{ij}(i):=j$, $\\tau_{ij}(j):=i$ und $\\tau_{ij}(k):=k$ für alle $k\\notin\\{i,j\\}$"},
{"word": "Fehlstand", "description": "Paar $(i,j)$ mit $i<j$ aber $\\sigma(i)>\\sigma(j)$ für eine Permutation $\\sigma$"},
{"word": "gerade Permutation", "synonyms": ["gerade"], "description": "Permutation mit einer geraden Anzahl an Fehlständen"},
{"word": "ungerade Permutation", "synonyms": ["ungerade"], "description": "Permutation mit einer ungeraden Anzahl an Fehlständen"},
{"word": "Signum", "description": "Gruppenhomomorphismus $\\sgn:\\mathfrak{S}_n\\to\\{\\pm 1\\}$ mit $\\sgn(\\sigma):=+1$ für gerade Permutationen $\\sigma$ und $\\sgn(\\sigma):=-1$ für ungerade"},
{"word": "alternierende Gruppe", "description": "normale Untergruppe $\\mathfrak{A}_n\\unlhd\\mathfrak{S}_n$ aller geraden Permutationen"},
{"word": "Zykel", "description": "Permutation $\\sigma$ mit $\\sigma(i_1)=i_2,\\sigma(i_2)=i_3,...,\\sigma(i_k)=i_1$ für Indices $i_1,...,i_k\\in\\{1,...,n\\}$ und $\\sigma(i)=i$ sonst, geschrieben $\\sigma=(i_1,...,i_k)\\in\\mathfrak{S}_n$"},
{"word": "disjunkte Zykel", "synonyms": ["disjunkt"], "description": "Zykel $(i_1,...,i_k),(j_1,...,j_l)\\in\\mathfrak{S}_n$ mit $\\{i_1,...,i_k\\}\\cap\\{j_1,...,j_l\\}=\\emptyset$"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Ringe",
"words": [
{"word": "Ring", "description": "Tripel $(R,+,\\cdot)$, sodass $(R,+)$ eine Gruppe sowie $(R,\\cdot)$ ein Monoid ist und das Distributivgesetz gilt"},
{"word": "kommutativer Ring", "description": "Ring $(R,+,\\cdot)$ mit kommutativem $\\cdot$"},
{"word": "Nullelement", "synonyms": ["Null"], "description": "neutrales Element der additiven Gruppe, zwangsläufig auch absorbierendes Element der multiplikativen"},
{"word": "Einselement", "synonyms": ["Eins"], "description": "neutrales Element einer multiplikativen Gruppe"},
{"word": "Nullring", "description": "Ring mit der Null als einziges Element"},
{"word": "Einheit", "description": "multiplikativ invertierbares Element eines Rings"},
{"word": "Einheitengruppe", "description": "Gruppe $(R^\\times,\\cdot)$ der multiplikativ invertierbaren Elemente eines Rings $(R,+,\\cdot)$"},
{"word": "Teilring", "description": "Teilmenge $S\\subseteq R$ eines Rings die unter Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen ist und die Eins enthält"},
{"word": "Ringhomomorphismus", "description": "Abbildung $\\varphi:R\\to S$ mit $\\varphi(1_R)=1_S$ sowie $\\varphi(a+b)=\\varphi(a)+\\varphi(b)$ und $\\varphi(a\\cdot b)=\\varphi(a)\\cdot\\varphi(b)$ für alle $a,b\\in R$"},
{"word": "Charakteristik", "description": "kleinstes $n\\in\\setN$ das vom Homomorphismus $\\varphi_R:\\setZ\\to R$ abgebildet wird, oder 0 falls kein solches $n$ existiert"},
{"word": "Integritätsring", "description": "kommutativer Ring $R$ mit $ab\\neq 0$ für alle $a,b\\in R\\setminus\\{0\\}$, erlaubt Kürzen in Gleichungen"},
{"word": "Bézout-Identität", "description": "für alle $a,n\\in\\setZ$ existieren $x,y\\in\\setZ$ mit $\\textrm{ggT}(a,n)=ax+ny$"},
{"word": "Euklidischer Algorithmus", "description": "Algorithmus zur Berechnung des ggT mithilfe von Division mit Rest"},
{"word": "euklidisch", "synonyms": ["Euklidischer Ring"], "description": "Integritätsring $R$ mit einer Gradfunktion $\\delta:R\\setminus\\{0\\}\\to\\setN_0$"},
{"word": "Gradfunktion", "description": "Abbildung $\\delta:R\\setminus\\{0\\}\\to\\setN_0$ auf einem Integritätsring $R$, sodass für alle $x,y\\in R$ mit $y\\neq 0$ Elemente $q,r\\in R$ existieren mit $x=qy+r$ und $\\delta(r)<\\delta(y)$ oder $\\delta=0$"},
{"word": "Ideal", "description": "additive Untergruppe $I\\in R$ mit $ar\\in I$ und $ra\\in R$ für alle $a\\in I,r\\in R$, geschrieben $I\\lhd R$"},
{"word": "Quotientenring", "description": "Ring $R/I$ für einen Ring $R$ und ein Ideal $I$"},
{"word": "Hauptideal", "description": "Ideal $cR$ für einen kommutativen Ring $R$ und ein $c\\in R$"},
{"word": "Homomorphiesatz für Ringe", "description": "für jeden Homomorphismus $\\varphi: R\\to S$ mit einem Ideal $I\\subseteq\\ker(\\varphi)\\subseteq R$ existiert genau ein $\\overline{\\varphi}$ mit $\\overline{\\varphi}\\circ =\\varphi$ für die Quotientenabbildung $p:R\\twoheadrightarrow R/I$"},
{"word": "Hauptidealring", "description": "Integritätsring in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, z.B. $\\setZ$ oder Polynomringe von Körpern"},
{"word": "noethersch", "synonyms": ["noetherscher Ring"], "description": "Ring, der keine unendliche echt aufsteigende Kette von Idealen bezüglich Inklusion enthält, also keine Folge von Idealen $I_i$ mit $I_i\\subsetneq I_{i+1}$ für alle $i\\in\\setN$"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Teilbarkeit",
"words": [
{"word": "assoziiert", "description": "Elemente $a,b\\in R$ eines Integritätsrings $R$ mit $a=bc$ für ein $c\\in R^\\times$, geschrieben $a\\sim b$"},
{"word": "Teiler", "description": "Element $a\\in R$ für ein $b\\in R$ eines Integritätsrings mit $b=ac$ für ein $c\\in R$, geschrieben $a\\mid b$"},
{"word": "prim", "synonyms": ["Primelement"], "description": "Element $p\\not\\in R^\\times\\cup\\{0\\}$ eines Integritätsrings $R$ mit $p\\mid ab\\Rightarrow p\\mid a\\lor p\\mid b$ für alle $a,b\\in R$"},
{"word": "Primzahl", "description": "positives Primelement des Ringes $\\setZ$, also Zahl $p\\in\\setN\\setminus\\{1\\}$ mit $p\\mid ab\\Rightarrow p\\mid a\\lor p\\mid b$ für alle $a,b\\in\\setZ$"},
{"word": "irreduzibel", "synonyms": ["irreduzibles Element"], "description": "Element $p\\not\\in R^\\times\\cup\\{0\\}$ eines Integritätsrings $R$ mit $p=ab\\Rightarrow a\\in R^\\times\\lor b\\in R^\\times$ für alle $a,b\\in R$"},
{"word": "Primfaktorzerlegunng", "description": "Faktorisierung eines Elements $a\\in R\\setminus\\{0\\}$ eines Hauptidealrings $R$ als Produkt einer Einheit mit Potenzen von Elementen eines Repräsentantensystems der Primelemente von $R$ bezüglich Assoziierheit"},
{"word": "größter gemeinsamer Teiler", "description": "Produkt $\\textrm{ggT}(a_1,...,a_n):=\\prod_{p\\in\\mathcal{P}}p^{e_p}$ mit $e_p:=\\min\\left\\{n\\in\\setN_0\\mid\\forall i\\in(1,...,n):(p^n\\mid a_i)\\right\\}$ für einen Hauptidealring $R$, ein Repräsentensystem $\\mathcal{P}$ von dessen Primelementen modulo Assoziiertheit und Elemente $a_1,...,a_n\\in R\\setminus\\{0\\}$, eindeutig bis auf eine Einheit als Faktor je nach Wahl von $\\mathcal{P}$"},
{"word": "kleinstes gemeinsames Vielfaches", "description": "Produkt $\\textrm{kgV}(a_1,...,a_n):=\\prod_{p\\in\\mathcal{P}}p^{e_p}$ mit $e_p:=\\max\\left\\{n\\in\\setN_0\\mid\\exists i\\in(1,...,n):(p^n\\mid a_i)\\right\\}$ für einen Hauptidealring $R$, ein Repräsentensystem $\\mathcal{P}$ von dessen Primelementen modulo Assoziiertheit und Elemente $a_1,...,a_n\\in R\\setminus\\{0\\}$, eindeutig bis auf eine Einheit als Faktor je nach Wahl von $\\mathcal{P}$"},
{"word": "kongruent", "description": "Elemente $a,b\\in R$ eines Rings mit $a-b\\in I$ für ein Ideal $I$, geschrieben $a\\equiv b \\mod I$ bzw. $a\\equiv b \\mod n:\\Leftrightarrow a\\equiv b \\mod n\\setZ$ für den Ring $\\setZ$ und Ideale $n\\setZ$"},
{"word": "Kongruenz", "description": "Äquivalenzrelation $a\\equiv b \\mod I:\\Leftrightarrow a-b\\in I$ von Elementen $a,b\\in R$ eines Ringes $R$ bezüglich eines Ideals $I$, auch geschrieben $a\\equiv b \\mod n$ für Ideale $n\\setZ$ von $\\setZ$"},
{"word": "modulo", "description": "Äquivalenzrelation $a\\equiv b \\mod I:\\Leftrightarrow a-b\\in I$ von Elementen $a,b\\in R$ eines Ringes $R$ bezüglich eines Ideals $I$, auch geschrieben $a\\equiv b \\mod n$ für Ideale $n\\setZ$ von $\\setZ$"},
{"word": "simultane Kongruenz", "description": "System von Kongruenzen $x\\equiv r_i \\mod I_i$ für einen Ring $R$ und Elemente $r_1,...,r_n$ sowie Ideale $I_1,...,I_n$, für das alle passenden $x\\in R$ gesucht werden"},
{"word": "teilerfremd", "description": "Ideale $I_1,I_2$ eines Rings $R$ mit $1\\in I_1+I_2:=\\{a_1+a_2\\mid a_1\\in I_1,a_2\\in I_2\\}$"},
{"word": "chinesischer Restsatz", "description": "für jeden Ring $R$ und paarweise teilerfremde Ideale $I_1,...,I_n$ ist $\\varphi:R/(I_1\\cap...\\cap I_n)\\overset{\\sim}{\\to}\\prod_{k=1}^nR/I_k:r\\mapsto(r \\mod I_1,...,r \\mod I_n)$ ein Isomorphismus"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Körper",
"words": [
{"word": "Körper", "description": "kommutativer Ring $(K,+,\\cdot)$ mit $K^\\times=K\\setminus\\{0\\}$"},
{"word": "Körperaxiome", "description": "Gruppeneigenschaften von $(K,+)$ (K1-K4) und $(K\\setminus\\{0\\},\\cdot)$ (K5-K8) sowie Distributivität (K9)"},
{"word": "angeordneter Körper", "description": "Körper $K$ mit einer totalen Ordnung $\\leq$ mit $a\\leq b\\Rightarrow a+c\\leq b+c$ und $0_K\\leq a\\land 0_K\\leq b\\Rightarrow 0_K\\leq a\\cdot b$ für alle $a,b,c\\in K$, alternativ Körper $K$ mit einer unter Addition und Multiplikation abgeschlossenen Teilmenge $K^+$ mit $K=-K^+\\dot\\cup\\{0_K\\}\\dot\\cup K^+$"},
{"word": "Teilkörper", "description": "Teilring der auch ein Körper ist"},
{"word": "endlicher Körper", "description": "endlicher Körper $\\mathbb{F}_n$ mit $n$ elementen, in der Vorlesung vor allem am Beispiel $\\mathbb{F}_p:=\\setZ/p\\setZ$ für Primzahlen $p$ bekannt"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Polynome",
"words": [
{"word": "Polynom", "description": "Konstrukt der Form $P=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ für ein $n\\in\\setN_0$ und Koeffizienten $a_0,...,a_n\\in R$ aus einem kommutativen Ring $R$, formal definiert als Folge $(a_0,a_1,...)\\in R^{\\setN_0}$ mit nur endlich vielen Einträgen ungleich 0"},
{"word": "Koeffizient", "description": "Vorfaktor vor einem der Terme eines Polynoms"},
{"word": "Leitkoeffizient", "description": "erster Koeffizient ungleich Null"},
{"word": "Monom", "description": "Polynom mit nur einem Term, bzw. nur einem Koeffizienten $a_n\\in R$ ungleich 0"},
{"word": "Polynomring", "description": "kommutativer Ring $R[x]$ aller Polynome auf einem kommutativen Ring $R$, im Fall von Körpern euklidisch"},
{"word": "Nullpolynom", "description": "Nullelement des Polynomrings, bzw. Polynom bei dem alle Koeffizienten Null sind"},
{"word": "Polynomfunktion", "description": "durch Auswerten eines Polynoms gegebene Abbildung"},
{"word": "Nullfunktion", "description": "Funktion die jeden Wert auf das Nullelement der betrachteten Struktur abbildet"},
{"word": "Interpolationsproblem", "description": "Problem bei dem eine möglichst einfache Funktion gesucht ist die an gegebenen Stellen genau gegebene Werte annimmt"},
{"word": "Polynominterpolation", "description": "Annäherung einer Funktion durch ein Polynom das an gebenen Stellen genau deren Werte annimmt"},
{"word": "Grad", "description": "größter Index dessen Koeffizient ungleich Null ist, bzw. $-\\infty$ für das Nullpolynom, bezeichnet mit $\\deg(P)$"},
{"word": "Polynomdivision", "description": "Ermittlung von Polynomen $Q,R\\in R[x]$ mit $F=QG+R$ und $\\deg(R)<\\deg(G)$ für gegebene Polynome $F,G\\in R[x]$"},
{"word": "Linearfaktor", "description": "Polynom vom Grad $1$ das ein gegebenes Polynom teilt"},
{"word": "Nullstelle", "description": "Nullstelle der Polynomfunktion, also Element $x\\in R$ mit $P(x)=0_R$ für ein Polynom $P\\in R[x]$"},
{"word": "Nullstellenordnung", "synonyms": ["algebraische Vielfachheit"], "description": "Anzahl der Linearfaktoren $(t-\\lambda)$ die sich für eine Nullstelle $\\lambda\\in R$ eines Polynoms $p\\in R[t]$ aus $p$ ausklammern lassen, bezeichnet mit $\\ord_{t=\\lambda}(p)$"},
{"word": "irreduzibles Polynom", "description": "Polynom $p\\in K[x]$ mit $\\deg(p)\\geq 1$ über einem Körper $K$ mit $p=ab\\Rightarrow a\\in R^\\times\\lor b\\in R^\\times$ für alle $a,b\\in R$"},
{"word": "normiert", "description": "Polynom mit dem Leitkoeffizienten $1$"},
{"word": "algebraisch abgeschlossen", "description": "Körper $K$ über dem jedes Polynom $p\\in K[t]$ mit $\\deg(p)>0$ eine Nullstelle hat"},
{"word": "Fundamentalsatz der Algebra", "description": "$\\setC$ ist algebraisch abgeschlossen, d.h. jedes Polynom $p\\in\\setC[t]$ mit $\\deg(p)>0$ hat mindestens eine Nullstelle"},
{"word": "Zerlegungssatz für komplexe Polynome", "description": "jedes komplexe Polynom vom Grad $n>0$ mit dem Leitkoeffizienten $a_n\\in\\setC$ und den Nullstellen $\\xi_1,...,\\xi_m\\in\\setC$ mit den algebraischen Vielfachheiten $\\nu_1,...,\\nu_m\\in\\setN$ lässt sich schreiben als $a_n\\prod_{k=1}^m(z-\\xi_k)^{\\nu_k}$ und es gilt $\\nu_1+\\nu_2+...+\\nu_m=n$"},
{"word": "algebraischer Abschluss", "description": "kleinstmöglicher algebraisch abgeschlossener Körper $\\overline{K}$ mit $K\\subseteq\\overline{K}$ für einen gegebenen Körper $K$, bis auf Isomorphie eindeutig"},
{"word": "algebraische Zahlen", "description": "algebraischer Abschluss $\\overline{\\setQ}\\subset\\setC$ der rationalen Zahlen"},
{"word": "transzendent", "description": "Zahl $x\\in\\setC$ mit $x\\notin\\overline{\\setQ}$, die also keine Nullstelle eines rationalen Polynoms ist"}
},
{
"type": "topic",
"name": "Vektorräume",
"words": [
{"word": "Vektorraum", "description": "abelsche Gruppe $(V,+)$ mit einer Verknüpfung $\\cdot:K\\times V\\to V,(\\alpha,v)\\mapsto\\alpha\\cdot v$ für die das Assoziativgesetz, das Distributivgesetz und $1_K\\cdot v=v$ gelten"},
{"word": "Vektor", "description": "Element eines Vektorraums"},
{"word": "Skalar", "description": "Element des einem Vektorraum zugehörigen Körpers"},
{"word": "Skalarmultiplikation", "description": "Produkt eines Skalars mit einem Vektor"},
{"word": "Nullvektor", "description": "neutrales Element der Gruppe $(V,+)$ eines Vektorraumes"},
{"word": "Nullraum", "description": "Vektorraum der nur den Nullvektor enthält"},
{"word": "Standardvektorraum", "description": "Vektorraum $K^n$ für ein $n\\in\\setN$ und einen Körper $K$"},
{"word": "Zeilenvektor"},
{"word": "Spaltenvektor"},
{"word": "Kürzungsregel", "description": "$\\alpha v=0\\Leftrightarrow \\alpha=0\\lor v=0$, gilt in allen Vektorräumen"},
{"word": "Untervektorraum", "synonyms": ["linearer Unterraum", "Teilraum"], "description": "Teilmenge $U$ eines Vektorraums $V$ die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist"},
{"word": "triviale Unterräume", "description": "der Nullraum und der Vektorraum selbst"},
{"word": "Linearkombination", "description": "Summe endlich vieler Vektoren eines Vektorraums, jeweils multipliziert mit einem Skalar $\\alpha_i$ "},
{"word": "Aufspann", "description": "Menge $\\langle A\\rangle$ aller Linearkombinationen von Vektoren aus $A$"},
{"word": "lineare Hülle", "description": "Durchschnitt aller $A$ enthaltenden Unterräume, äquivalent zum Aufspann $\\langle A\\rangle$"},
{"word": "Erzeugendensystem", "description": "Tupel oder Familie von Vektoren dessen Aufspann den Vektorraum ergibt"},
{"word": "endlich erzeugt", "description": "Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem"},
{"word": "nicht endlich erzeugt", "description": "Vektorraum mit keinem endlichen Erzeugendensystem"},
{"word": "linear abhängig", "description": "Erzeugendensystem das die Null als nichttriviale Linearkombination darstellen kann"},
{"word": "linear unabhängig", "description": "Erzeugendensystem das die Null nicht als nichttriviale Linearkombination darstellen kann"},
{"word": "Basis", "description": "linear unabhängiges Erzeugendensystem"},
{"word": "Standardbasis", "description": "Basis des $K^n$ bestehend aus den Standard-Basisvektoren"},
{"word": "Standardbasisvektoren", "description": "Vektoren $e_1,...,e_n\\in K^n$ mit je einer Eins an der $i$-ten Stelle und sonst nur Nullen"},
{"word": "Basisergänzungssatz", "description": "jedes linear unabhängige System von Vektoren kann mit Vektoren eines beliebigen Erzeugendensystems zu einer Basis ergänzt werden"},
{"word": "Basisaustauschsatz", "description": "für jede Basis und jedes linear unabhängige System aus $n$ Vektoren können $n$ Vektoren der Basis so durch die des Erzeugendensystems ersetzt werden dass das Ergebnis eine Basis ist"},
{"word": "Dimension", "description": "Länge der Basen eines Vektorraums, bezeichnet mit $\\dim_K(V)\\in(\\setN_0\\cup\\{\\infty\\})$"},
{"word": "endlichdimensional"},
{"word": "externe direkte Summe", "description": "Mengenprodukt $U_1\\oplus...\\oplus U_n:=U_1\\times...\\times U_n$ von $K$-Vektorräumen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation"},
{"word": "interne Summe", "description": "lineare Hülle $U_1+...+U_n:=\\langle U_1\\cup...\\cup U_n\\rangle$ der Vereinigung von Unterräumen $U_i\\subseteq V$"},
{"word": "interne direkte Summe", "description": "interne Summe von Unterräumen $U_1,...,U_n$ mit $U_i\\cap(U_1+...+U_{i-1}+U_{i+1}+...+U_n)=\\{0\\}$ für alle $i$"},
{"word": "direkt", "description": "interne Summe von Unterräumen $U_1,...,U_n$ wenn $U_i\\cap(U_1+...+U_{i-1}+U_{i+1}+...+U_n)=\\{0\\}$ für alle $i$ gilt"},
{"word": "Komplement", "description": "Vektorraum $U'$ mit $U'+U=V$ für Vektorräume $U\\subseteq V$"},
{"word": "Dimensionsformel", "description": "$\\dim(U_1+U_2)=\\dim(U_1)+\\dim(U_2)-\\dim(U_1\\cap U_2)$, gilt für alle Unterräume $U_1,U_2$ eines Vektorraums $V$"},
{"word": "affiner Unterraum", "description": "Teilmenge $v+U:=\\{v+u\\mid u\\in U\\}$ eines Vektorraums $V$ für einen Stützvektor $v\\in V$ und einen Unterraum $U\\subseteq V$"},
{"word": "Quotientenraum", "description": "Vektorraum $V/U:=\\{[v]\\mid v\\in V\\}=\\{v+U\\mid v\\in V\\}$ aller affinen Unterräume $v+U$ bzw. Äquivalenzklassen von $V$ bezüglich der Relation $v\\sim u:\\Leftrightarrow v-u\\in U$ für einen Vektorraum $V$ und einen Unterraum $U$, mit repräsentantenweiser Addition und Skalarmultiplikation"},
{"word": "Quotientenabbildung", "description": "Epimorphismus $p:V\\twoheadrightarrow V/U,v\\mapsto [v]=v+U$ für einen Unterraum $U$ eines Vektorraums $V$"},
{"word": "Homomorphiesatz für Vektorräume", "synonyms": ["Homomorphiesatz"], "description": "für jeden Homomorphismus $f:V\\to W$ und jede Untergruppe $U$ ihres Kerns existiert genau ein Homomorphismus $\\overline{f}:V/U\\to W$ mit $f=\\overline{f}\\circ p$ für die Quotientenabbildung $p:V\\twoheadrightarrow V/U$"},
{"word": "Isomorphiesätze", "description": "$U/(U\\cap U')\\simeq(U+U')/U'$ für alle Unterräume $U,U'$ eines Vektorraums $V$, sowie $(V/U)/(U'/U)\\simeq V/U'$ im Fall $U\\subseteq U'$"},
{"word": "Basiswechsel", "description": "Automorphismus $\\Phi_\\mathcal{A,B}:=\\Phi_\\mathcal{B}^{-1}\\circ\\Phi_\\mathcal{A}\\in\\Aut_K(K^n)$ der von einer Basis $\\mathcal{A}$ eines $n$-dimensionalen Vektorraums $V\\simeq K^n$ in eine andere Basis $\\mathcal{B}$ abbildet"},
{"word": "Basiswechselmatrix", "description": "Matrix $\\Phi_\\mathcal{A,B}\\in\\Mat(n\\times n,K)$ die von einer Basis $\\mathcal{A}$ eines $n$-dimensionalen Vektorraums $V\\simeq K^n$ in eine andere Basis $\\mathcal{B}$ abbildet"},
{"word": "Transformationsformel", "description": "$M_\\mathcal{A,B}(f)=\\Phi_\\mathcal{B',B}\\circ M_\\mathcal{A',B'}(f)\\circ\\Phi_\\mathcal{A,A'}$ für eine Abbildung $f:V\\to W$ und Basen $\\mathcal{A,A'}$ von $V$ sowie $\\mathcal{B,B'}$ von $W$"},
{"word": "Kodimension", "description": "Dimension $\\textrm{codim}_K(U,V):=\\dim_K(V)-\\dim_K(U)$ der Komplemente eines Unterraums $U\\subseteq V$"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Gleichungssysteme",
"words": [
{"word": "lineares Gleichungssystem"},
{"word": "LGS"},
{"word": "homogen", "description": "Gleichungssystem ohne konstante Terme"},
{"word": "inhomogen", "description": "Gleichungssystem mit konstanten Termen"},
{"word": "echt inhomogen", "description": "Gleichungssystem mit konstanten Termen ungleich Null"},
{"word": "homogenes LGS"},
{"word": "inhomogenes LGS"},
{"word": "Lösung"},
{"word": "Lösungsmenge", "description": "Menge aller Lösungen eines Gleichungssystems, für Gleichungen der Form $Ax=b$ mit $A\\in\\Mat(m\\times n,K),b\\in K^m$ bezeichnet mit $\\mathcal{L}(A,b)\\subseteq K^n$"},
{"word": "nicht lösbar"},
{"word": "Koeffizientenmatrix", "description": "Matrix aller Vorfaktoren eines Linearen Gleichungssystems"}
{
"type": "topic",
"name": "Algebren",
"words": [
{"word": "Algebra", "description": "Ring $(R,+,\\circ)$ der zugleich ein $K$-Vektorraum mit $\\alpha(f\\circ g)=(\\alpha f)\\circ g=f\\circ(\\alpha g)$ für alle $f,g\\in R$ und $\\alpha\\in K$ ist"},
{"word": "Unteralgebra", "description": "Teilmenge einer $K$-Algebra die unter Addition, Multiplikation und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist und das Einselement enthält"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "lineare Abbildungen",
"words": [
{"word": "lineare Abbildung", "synonyms": ["Vektorraumhomomorphismus", "linear"], "description": "Abbildung $f:V\\to W$ zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ mit $f(u+v)=f(u)+f(v)$ und $f(\\alpha v)=\\alpha f(v)$ für alle $u,v\\in V$ und $\\alpha\\in K$"},
{"word": "affin-lineare Abbildung", "synonyms": ["affin-linear"], "description": "Abbildung $f:V\\to W$ zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ mit $f(x)=g(x)+v$ für ein $v\\in W$ und eine lineare Abbildung $g:V\\to W$"},
{"word": "Linearität", "description": "Eigenschaft $f(u+v)=f(u)+f(v)$ und $f(\\alpha v)=\\alpha f(v)$ von linearen Abbildungen $f:V\\to W$"},
{"word": "Linearitätskriterium", "description": "Kriterium $f(u+\\alpha v)=f(u)+\\alpha f(v)$ zum einfachen Nachweis der Linearität einer Abbildung $f$"},
{"word": "Struktursatz", "description": "Für jeden $K$-Vektorraum $V$ mit einer Basis $\\mathcal{B}=(v_i)_{i\\in I}$ ist $\\Phi_\\mathcal{B}:K^I\\overset{\\sim}{\\to}V,(\\alpha_i)_{i\\in I}\\mapsto\\sum_{i\\in I}\\alpha_iv_i$ ein Isomorphismus, und $V$ somit isomorph zu $K^I$"},
{"word": "Homomorphismenraum", "description": "Vektorraum $\\Hom_K(V,W)$ aller linearen Abbildungen von $V$ nach $W$, mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation"},
{"word": "Endomorphismenring", "description": "Ring $\\End_K(V)=\\Hom_K(V,V)$ aller linearen Abbildungen von $V$ nach $V$, mit punktweiser Addition und Verkettung als Multiplikation"},
{"word": "Automorphismengruppe", "description": "Gruppe $\\Aut_K(V)=(\\End_K(V))^\\times$ aller bijektiven linearen Abbildungen von $V$ nach $V$, mit Verkettung als Multiplikation"},
{"word": "Endomorphismenalgebra", "description": "Menge $\\End_K(V)$ aller Endomorphismen auf $V$ als $K$-Algebra mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation sowie Verkettung als Multiplikation"},
{"word": "Projektion", "synonyms": ["Projektionsabbildung","Projektor"], "description": "lineare Abbildung $p\\in\\End_K(V)$ mit $p\\circ p=p$, die also jeden Bildpunkt auf sich selbst abbildet"},
{"word": "Inklusion", "synonyms": ["Inklusionsabbildung"], "description": "Abbildung $f:U\\hookrightarrow V,v\\mapsto v$ für eine Teilmenge $U$ einer beliebigen Menge $V$, im Fall von Vektorräumen ein Monomorphismus"},
{"word": "Dimensionsformel", "description": "$\\dim_K(V)=\\dim_K(\\ker(f))+\\dim_K(\\im(f))$, gilt für alle Homomorphismen $f:V\\to W$"},
{"word": "Cokern", "description": "Vektorraum $\\cok(f):=V/\\im(f)$ für eine lineare Abbildung $f:U\\to V$"},
{"word": "Struktursatz für lineare Abbildungen", "description": "für jede lineare Abbildung $f:V\\to W$ zwischen endlichen Vektorräumen gibt es Basen $\\mathcal{A}\\subseteq V,\\mathcal{B}\\subseteq W$ mit $M_\\mathcal{A,B}(f)=\\begin{pmatrix}1_{r\\times r}&0_{r\\times b}\\\\0_{a\\times r}&0_{a\\times b}\\end{pmatrix}$ für $r=\\dim_K\\im(f)$, $a=\\dim(W)-r$ und $b=\\dim(V)-r$"},
{"word": "innerer Automorphismus", "description": "Automorphismus $\\varphi_A:\\End_K(V)\\to\\End_K(V),f\\mapsto A\\circ f\\circ A^{-1}$ für ein $A\\in\\Aut_K(V)$"},
{"word": "Satz von Skolem-Noether", "description": "jeder Automorphismus $\\varphi:\\End_K(V)\\to\\End_K(V)$ ist ein innerer Automorphismus $\\varphi_A$"},
{"word": "multilinear", "synonyms": ["multilineare Abbildung"], "description": "Abbildung $f:V^n\\to W,(v_1,...,v_n)\\mapsto f(v_1,...,v_n)$ die in jedem ihrer Argumente $v_i$ bei Festhalten aller anderen Argumente linear ist"},
{"word": "Multilinearität", "description": "Eigenschaft multilinearer Funktionen $f:V^n\\to W$, dass $f_i:V\\to W,x\\mapsto f(v_1,...,v_{i-1},x,v_{i+1},...,v_n)$ für alle $i\\in(1,...,n)$ und $v_1,...,v_n\\in V$ linear ist"},
{"word": "Multilinearform", "description": "multilineare Abbildung $f:V^n\\to K$ für einen $K$-Vektorraum $V$"},
{"word": "alternierend", "synonyms": ["alternierende Abbildung"], "description": "multilineare Abbildung $f:V^n\\to W$ mit $f(v_1,...,v_n)=0$ für alle $v_1,...,v_n\\in V$ mit $v_i=v_j$ für ein $i\\neq j$"},
{"word": "Determinantenfunktion", "description": "alternierende Multilinearform $\\Delta:V^n\\to K$ mit $n=\\dim_K(V)$"},
{"word": "Determinante", "description": "Abbildung $\\det:\\Mat(n\\times n,K)\\to K,(a_{ij})\\mapsto\\sum_{\\sigma\\in\\mathfrak{S}_n}\\sgn(\\sigma)\\prod_{i=0}^na_{\\sigma(i)i}$, für nichttriviale Determinantenfunktionen $\\Delta$ gleich dem Verhältnis $\\frac{\\Delta(Ae_1,...,Ae_n)}{\\Delta(e_1,..,e_n)}$, gibt an wie eine Matrix Rauminhalte und deren Orientierung ändert"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Matrizen",
"words": [
{"word": "Matrix", "description": "rechteckiges Schema zur Darstellung von linearen Abbildungen"},
{"word": "Zeile"},
{"word": "Spalte"},
{"word": "Zeilenindex"},
{"word": "Spaltenindex"},
{"word": "Abbildungsmatrix", "description": "Matrix $_\\mathcal{C}f_\\mathcal{B}=M_{\\mathcal{B},\\mathcal{C}}(f)$ die eine Abbildung $f:U\\to V$ in gegebenen Basen $\\mathcal{B}\\subseteq U,\\mathcal{C}\\subseteq V$ beschreibt, entspricht der Abbildung $\\Phi_\\mathcal{C}^{-1}\\circ f\\circ\\Phi_\\mathcal{B}$"},
{"word": "Matrizenraum", "description": "Menge $\\Mat(m\\times n,K)$ aller $m\\times n$-Matrizen auf $K$ als $K$-Vektorraum mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation, isomorph zu $\\Hom_K(K^n,K^m)$"},
{"word": "Matrixprodukt", "description": "$A\\cdot B:=(c_{ik})\\in\\Mat(l\\times n,K)$ mit $c_{ik}:=\\sum_{j=1}^ma_{ij}b_{jk}$ für zwei Matrizen $A=(a_{ij})\\in\\Mat(l\\times m,K),B=(b_{jk})\\in\\Mat(m\\times n,K)$, intuitiv Anwendung von $A$ auf die Spalten von $B$ bzw. Verkettung der jeweiligen Funktionen"},
{"word": "Matrizenalgebra", "description": "Menge $\\Mat(n\\times n,K)$ aller $n\\times n$-Matrizen auf $K$ als $K$-Algebra mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation sowie Matrixmultiplikation, isomorph zu $\\End_K(K^n)$"},
{"word": "Nullmatrix", "description": "Nullelement des Matrizenraums, bzw. Matrix mit ausschließlich Nullen als Einträgen"},
{"word": "Einheitsmatrix", "description": "Einselement der Matrizenalgebra, bzw. Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung"},
{"word": "Elementarmatrix", "description": "Matrix $E_{ij}$ mit einer Eins und sonst nur Nullen als Einträgen, bilden zusammen eine Basis des Matrizenraums"},
{"word": "Drehmatrix", "description": "Matrix $\\begin{pmatrix}\\cos\\varphi&-\\sin\\varphi\\\\\\sin\\varphi&\\cos\\varphi\\end{pmatrix}\\in\\Gl_2(\\setR)$"},
{"word": "Kronecker-Delta", "description": "$\\delta_{ij}$ mit $\\delta_{ij}=1$ für alle $i=j$ und 0 sonst"},
{"word": "transponierte Matrix", "description": "Matrix $A^t=(a_{ji})\\in\\Mat(n\\times m,K)$ für eine Matrix $A=(a_{ij})\\in\\Mat(m\\times n,K)$, beschreibt die zur ursprünglichen Abbildung $f$ mit $A=M_{\\mathcal{B},\\mathcal{C}}(f)$ duale Abbildung $f^*$ in den dualen Basen $\\mathcal{C}^*$ und $\\mathcal{B}^*$"},
{"word": "transponieren", "description": "Umwandeln einer Matrix $A$ in ihre transponierte Matrix $A^t$ durch Spiegelung entlang der Hauptdiagonalen, bzw. Dualisieren der entsprechenden Abbildung"},
{"word": "Spaltenrang", "synonyms": ["Rang"], "description": "Dimension $\\rk(A)$ des Bildes bzw. des Aufspanns aller Spalten einer Matrix $A$"},
{"word": "invertierbar", "synonyms": ["invertierbare Matrix"], "description": "quadratische Matrix $A\\in\\Mat(n\\times n,K)$ die ein multiplikatives Inverses $A^{-1}\\in\\Mat(n\\times n,K)$ besitzt, bzw. deren zugehörige Funktion ein Automorphismus ist"},
{"word": "inverse Matrix", "description": "Matrix $A^{-1}\\in\\Mat(n\\times n,K)$ mit $A^{-1}A=AA^{-1}=1$ für eine Matrix $A\\in\\Mat(n\\times n,K)$"},
{"word": "allgemeine lineare Gruppe", "description": "Einheitengruppe $\\Gl_n(K):=(\\Mat(n\\times n,K))^\\times$ des Matrizenringes, also multiplikative Gruppe aller invertierbaren $n\\times n$-Matrizen"},
{"word": "Zeilenrang", "description": "Dimension $\\rk(A^t)$ des Aufspanns aller Zeilen einer Matrix $A$, gleich dem Rang bzw. Spaltenrang $\\rk(A)$"},
{"word": "Blockmatrix", "description": "Schreibweise von Matrizen als Zusammensetzung kleinerer Matrizen, genannt Blöcke"},
{"word": "Block", "description": "Teil einer Blockmatrix"},
{"word": "äquivalent", "description": "Matrizen $M,M'\\in\\Mat(m\\times n,K)$ mit $B^{-1}MA=M^{-1}$ für Matrizen $A\\in\\Gl_n(K),B\\in\\Gl_m(K)$, beschreiben denselben Homomorphismus in unterschiedlichen Basen"},
{"word": "ähnlich", "description": "Matrizen $M,M'\\in\\Mat(n\\times n,K)$ mit $A^{-1}MA=M'$ für eine Matrix $A\\in\\Gl_n(K)$, beschreiben denselben Endomorphismus in unterschiedlichen Basen"},
{"word": "Hauptdiagonale", "description": "alle Einträge der Form $a_{ii}$ einer Matrix $(a_{ij})\\in\\Mat(m\\times n,K)$"},
{"word": "Diagonaleintrag", "description": "Eintrag $a_{ii}$ auf der Hauptdiagonale einer Matrix $A$"},
{"word": "Dreiecksmatrix", "description": "quadratische Matrix bei der alle Einträge ober- oder unterhalb der Hauptdiagonale Null sind"},
{"word": "obere Dreiecksmatrix", "description": "quadratische Matrix bei der alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale Null sind"},
{"word": "untere Dreiecksmatrix", "description": "quadratische Matrix bei der alle Einträge oberhalb der Hauptdiagonale Null sind"},
{"word": "Leibniz-Formel", "description": "Formel $\\det(A)=\\sum_{\\sigma\\in\\mathfrak{S}_n}\\sgn(\\sigma)\\prod_{i=0}^na_{\\sigma(i)i}$ zur Berechnung der Determinante"},
{"word": "Blockdreiecksmatrix", "description": "Blockmatrix mit nur quadratischen Blöcken auf der Hauptdiagonalen und nur Nullblöcken ober- oder unterhalb davon"},
{"word": "Vandermonde-Matrix", "description": "Matrix $(a_{ij})\\in\\Mat(n\\times n,K)$ mit den Einträgen $a_{ij}:=a_i^{j-1}$ für gegebene $a_1,...,a_n\\in K$, taucht z.B. bei Polynominterpolation auf"},
{"word": "Vandermonde-Determinante", "description": "Determinante $V(a_1,...,a_n):=\\det(A)=\\prod_{i<j}(a_j-a_i)$ der Vandermonde-Matrix $A\\in\\Mat(n\\times n,K)$ mit den Einträgen $a_{ij}=a_i^{j-1}$"},
{"word": "Laplace'scher Entwicklungssatz", "description": "für alle $i,j\\in\\{1,...,n\\}$ und Matrizen $A=(a_{ij})\\in\\Mat(n\\times n,K)$ gilt $\\det(A)=\\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\\det(A_{ij})=\\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\\det(A_{ij})$, wobei $A_{ij}$ für die Matrix $A$ ohne die $i$-te Zeile und $j$-te Spalte steht"},
{"word": "entwickeln", "description": "anwenden des Laplace'schen Entwicklungssatzes auf eine Zeile oder Spalte einer Matrix"},
{"word": "komplementäre Matrix", "synonyms": ["Adjunkte"], "description": "Matrix $A^*:=(a_{ij}^*)\\in\\Mat(n\\times n,K)$ mit $a_{ij}^*:=(-1)^{i+j}\\det(A_{ij})$ für eine Matrix $A\\in\\Mat(n\\times n,K)$"},
{"word": "Cramer'sche Formel", "description": "$A\\cdot A^*=A^*\\cdot A=\\det(A)\\cdot 1$"},
{"word": "spezielle lineare Gruppe", "description": "Untergruppe $\\Sl_n(K):=\\{A\\in\\Gl_n(K)\\mid\\det(A)=1\\}\\subseteq\\Gl_n(K)$"},
{"word": "Diagonalmatrix", "description": "quadratische Matrix bei der alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind"},
{"word": "diagonalisierbar", "description": "Matrix die ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist"},
{"word": "Eigenwert", "description": "Skalar $\\lambda\\in K$ mit $Av=\\lambda v$ für einen Vektor $v\\in V\\setminus\\{0\\}$ und eine Matrix $A\\in\\Mat(n\\times n,K)$"},
{"word": "Eigenvektor", "description": "Vektor $v\\in V\\setminus\\{0\\}$ mit $Av=\\lambda v$ für einen Eigenwert $\\lambda\\in K$ einer Matrix $A\\in\\Mat(n\\times n,K)$"},
{"word": "Eigenraum", "description": "Unterraum $E(f,\\lambda):=\\{v\\in V\\mid f(v)=\\lambda v\\}=\\ker(\\lambda\\cdot\\id_V-f)\\subseteq V$ aller Eigenvektoren von $f\\in\\End_K(V)$ mit dem Eigenwert $\\lambda\\in K$ zusammen mit dem Nullvektor"},
{"word": "charakteristisches Polynom", "description": "Polynom $\\chi_A(t):=\\det(t\\cdot 1-A)\\in K[t]$ für eine Matrix $A\\in\\Mat(n\\times n,K)$, hat genau deren Eigenwerte als Nullstellen"},
{"word": "Spur", "description": "Summe $\\tr(A)$ aller Diagonaleinträge einer Matrix $A$"},
{"word": "algebraische Vielfachheit", "description": "Nullstellenordnung $e(f,\\lambda):=\\ord_{t=\\lambda}(\\chi_f(t))$ eines Eigenwerts $\\lambda$ im charakteristischen Polynom $\\chi_f(t)$"},
{"word": "geometrische Vielfachheit", "description": "Dimension $d(f,\\lambda):=\\dim_K(E(f,\\lambda))$ des Eigenraums $E(f,\\lambda)$ eines Eigenwerts $\\lambda$"}
{
"type": "topic",
"name": "Gauß-Algorithmus",
"words": [
{"word": "Gauß-Algorithmus", "description": "Verfahren zur schrittweisen Vereinfachung von Matrizen oder linearen Gleichungssystemen anhand von deren Koeffizientenmatrix durch Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen $S\\in\\Gl_n(K)$"},
{"word": "Zeilenstufenform", "description": "Matrix bei der jede Zeile mit mehr Nullen anfängt als die vorherige, jeweils gefolgt von einer Eins"},
{"word": "reduzierte Zeilenstufenform", "description": "Matrix in Zeilenstufenform bei der über der ersten Eins jeder Zeile jeweils nur Nullen stehen"},
{"word": "Zeilenumformungen", "synonyms": ["Zeilentransformationen"]},
{"word": "Spaltenumformungen", "synonyms": ["Spaltentransformationen"]},
{"word": "elementare Umformungen", "synonyms": ["elemente Transformationen"]},
{"word": "elementare Umformung vom Typ 1", "description": "Multiplikation einer Zeile einer Matrik mit einem Skalar $\\alpha\\in K^\\times$, gegeben durch Linksmultiplikation mit $1-(1-\\alpha)E_{ii}$"},
{"word": "elementare Umformung vom Typ 2", "description": "Addition einer Zeile einer Matrix zu einer anderen, entspricht Linksmultiplikation mit $1+E_{ij}$"},
{"word": "elementare Umformung vom Typ 3", "description": "Addition eines Vielfachen einer Zeile einer Matrix zu einer anderen, entspricht Linksmultiplikation mit $1+\\alpha E_{ij}$ für ein $\\alpha\\in K$"},
{"word": "elementare Umformung vom Typ 4", "description": "Vertauschung zweier Zeilen, entspricht Linksmultiplikation mit $1+E_{ij}+E_{ji}-E_{ii}-E_{jj}$"}
{
"type": "topic",
"name": "Dualräume",
"words": [
{"word": "Kovariante", "description": "Homomorphismus $g_*:\\Hom_K(W,U)\\to\\Hom_K(W,V),f\\mapsto g\\circ f$ für einen Homomorphismus $g:U\\to V$"},
{"word": "Kontravariante", "description": "Homomorphismus $g^*:\\Hom_K(V,W)\\to\\Hom_K(U,W),f\\mapsto f\\circ g$ für einen Homomorphismus $g:U\\to V$"},
{"word": "Linearform", "description": "Abbildung $f\\in\\Hom_K(V,K)$ für einen $K$-Vektorraum $V$"},
{"word": "Dualraum", "description": "Vektorraum $V^*:=\\Hom_K(V,K)$ aller Linearformen von $V$"},
{"word": "duale Abbildung", "description": "Kontravariante $g^*:V^*\\to U^*,f\\mapsto f\\circ g$ für einen Homomorphismus $g:U\\to V$"},
{"word": "duale Basis", "description": "Basis $\\mathcal{B}^*:=(f_1,...,f_n)$ mit $f_i(v_j):=\\delta_{ij}$ von $V^*$ für eine Basis $\\mathcal{B}=(v_1,...,v_n)$ eines Vektorraums $V$"},
{"word": "Bidualität", "description": "Isomorphismus $\\iota:V\\overset{\\sim}{\\to}V^{**},v\\mapsto(f\\mapsto f(v))$ für einen Vektorraum $V$"}
},
{
"type": "topic",
"name": "Sequenzen",
"words": [
{"word": "Sequenz", "description": "Aneinanderreihung $...\\to V_{i-1}\\overset{f_{i-1}}{\\to}V_i\\overset{f_i}{\\to}V_{i+1}\\to...$ von Homomorphismen $f_i:V_i\\to V_{i+1}$, für gewöhnlich mit Nullräumen als Start- und Zielraum"},
{"word": "exakt", "description": "$i$-te Stelle einer Sequenz wenn $\\im(f_{i-1})=\\ker(f_i)$ ist, oder gesamte Sequenz wenn sie an allen Stellen exakt ist"},
{"word": "exakte Sequenz", "description": "Sequenz mit $\\im(f_{i-1})=\\ker(f_i)$ für alle $i$"},
{"word": "kurz", "synonyms": ["kurze Sequenz"], "description": "Sequenz mit nur drei von Null verschiedenen Vektorräumen"},
{"word": "kurze exakte Sequenz", "description": "exakte Sequenz mit nur drei von Null verschiedenen Vektorräumen"},
{"word": "duale Sequenz", "description": "Sequenz $W^*\\overset{g^*}{\\to}V^*\\overset{f^*}{\\to}U^*$ für eine Sequenz $U\\overset{f}{\\to}V\\overset{g}{\\to}W$, exakt genau dann wenn die ursprüngliche Sequenz exakt war"}
},
{
"type": "topic",
"name": "metrische Räume",
"words": [
{"word": "metrischer Raum", "description": "nichtleere Menge $X$ mit einer darauf definierten Metrik $d:X\\times X\\to\\setR$, geschrieben als Tupel $(X,d)$"},
{"word": "Metrik", "description": "Abbildung $d:X\\times X\\to\\setR$ mit $d(x,y)\\geq 0$, $d(x,y)=0\\Leftrightarrow x=y$, $d(x,y)=d(y,x)$ und $d(x,z)\\leq d(x,y)+d(y,z)$ für alle $x,y,z\\in X$"},
{"word": "Positivität", "description": "Eigenschaften $d(x,y)\\geq 0$ und $d(x,y)=0\\Leftrightarrow x=y$ von Metriken $d$"},
{"word": "Symmetrie", "description": "Eigenschaft $d(x,y)=d(y,x)$ von Metriken $d$"},
{"word": "Dreiecksungleichung", "description": "Eigenschaft $d(x,z)\\leq d(x,y)+d(y,z)$ von Metriken $d$"},
{"word": "Vierecksungleichung", "description": "$\\abs{d(x,y)-d(z,w)}\\leq d(x,z)+d(y,w)$, gilt für alle $x,y,z,w\\in X$ von metrischen Räumen $(X,d)$"},
{"word": "Pseudometrik", "description": "Abbildung $d:X\\times X\\to\\setR$ mit $d(x,y)\\geq 0$, $d(x,x)=0$, $d(x,y)=d(y,x)$ und $d(x,z)\\leq d(x,y)+d(y,z)$ für alle $x,y,z\\in X$, die also bis auf $d(x,y)=0\\Rightarrow x=y$ alle Metrikeigenschaften erfüllt"},
{"word": "Punkt", "description": "Element $x\\in X$ eines metrischen Raumes $(X,d)$"},
{"word": "Abstand", "description": "Distanz $d(x,y)$ zwischen zwei Punkten unter der jeweiligen Metrik $d$"},
{"word": "euklidischer Abstand", "description": "Abstand zwischen zwei Punkten im $\\setR^n$ oder $\\setC^n$ unter der jeweiligen Standardmetrik"},
{"word": "Standardmetrik", "description": "Metrik $d:\\setC\\times\\setC\\to\\setR,(x,y)\\mapsto\\abs{x-y}$ auf $\\setR$ und $\\setC$, bzw. deren Produktmetrik auf $\\setR^n$ und $\\setC^n$"},
{"word": "Mannheimer-Metrik", "description": "Metrik $d:\\setC^n\\times\\setC^n,((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))\\mapsto\\sum_{k=1}^n\\abs{x_k-y_k}$ im $\\setR^n$ oder $\\setC^n$"},
{"word": "Metrik der französischen Eisenbahn", "description": "Metrik $d_p$ mit $d_p(x,y):=0$ falls $x=y$ und sonst $d_p(x,y):=d(x,p)+d(p,y)$ für eine Metrik $d$ und einen festen Punkt $p$"},
{"word": "diskrete Metrik", "description": "Metrik $d$ mit $d(x,y):=0$ falls $x=y$ und $d(x,y):=1$ sonst auf einer beliebigen nichtleeren Menge $X$"},
{"word": "diskreter metrischer Raum", "description": "Raum $(X,d)$ aus einer beliebigen nichtleeren Menge $X$ und der diskreten Metrik"},
{"word": "induzierte Metrik", "description": "auf eine Teilmenge $A\\subseteq X$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ beschränkte Metrik $d\\vert_{A\\times A}$"},
{"word": "Produktmetrik", "description": "Metrik $d:X\\times X\\to\\setR,((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))\\mapsto\\sqrt{\\sum_{k=1}^nd_k(x_k,y_k)^2}$ auf dem Mengenprodukt $X:=X_1\\times...\\times X_n$ metrischer Räume $(X_1,d_1),...,(X_n,d_n)$"},
{"word": "kartesisches Produkt", "description": "metrischer Raum $(X,d)$ des Mengenprodukts $X:=X_1\\times...\\times X_n$ mit der Produktmetrik $d$ von metrischen Räumen $(X_1,d_1),...,(X_n,d_n)$"},
{"word": "Maximumsmetrik", "description": "Metrik $d:\\setC^n\\times\\setC^n,((x_1,...,x_n),(y_1,...,y_n))\\mapsto\\max\\{\\abs{x_1-y_1},...,\\abs{x_n-y_n}\\}$ im $\\setR^n$ oder $\\setC^n$"},
{"word": "Isometrie", "description": "abstandserhaltende Bijektion $f$ zwischen metrischen Räumen $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$, d.h. bijektive Abbildung $f:X\\to Y$ mit $d_X(x,y)=d_Y(f(x),f(y))$ für alle $x,y\\in X$"},
{"word": "isometrisch", "description": "metrische Räume zwischen denen eine Isometrie besteht"},
{"word": "Kugel", "synonyms": ["offene Kugel"], "description": "Menge $K(x,\\varepsilon):=\\{y\\in X\\mid d(x,y)<\\varepsilon\\}$ für ein $\\varepsilon>0$ und einen Punkt $x$ eines metrischen Raumes $(X,d)$"},
{"word": "abgeschlossene Kugel", "description": "Menge $\\cl(K(x,\\varepsilon))=\\{y\\in X\\mid d(x,y)\\leq\\varepsilon\\}$ für ein $\\varepsilon>0$ und einen Punkt $x$ eines metrischen Raumes $(X,d)$"},
{"word": "innerer Punkt", "description": "Punkt $x\\in A$ einer Teilmenge $A\\subseteq X$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ falls ein $\\varepsilon>0$ mit $K(x,\\varepsilon)\\subseteq A$ existiert"},
{"word": "Inneres", "description": "Menge $\\Int(A)=\\{x\\in A\\mid\\exists\\varepsilon>0:K(x,\\varepsilon)\\subseteq A\\}$ aller inneren Punkte einer Teilmenge $A\\subseteq X$ eines metrischen Raumes $(X,d)$"},
{"word": "Abschluss", "description": "Menge $\\cl(A):=\\{x\\in X\\mid\\forall\\varepsilon>0:K(x,\\varepsilon)\\cap A\\neq\\emptyset\\}$ für eine Teilmenge $A\\subseteq X$ eines metrischen Raumes $(X,d)$"},
{"word": "Rand", "description": "Menge $\\partial A:=\\cl(A)\\setminus\\Int(A)$ für eine Teilmenge $A\\subseteq X$ eines metrischen Raumes"},
{"word": "Randpunkt", "description": "Punkt im Rand $\\partial A$ einer Menge $A$"},
{"word": "Äußeres", "description": "Inneres $\\Int(X\\setminus A)$ des Komplements $X\\setminus A$ einer Menge $A$"},
{"word": "äußerer Punkt", "description": "innerer Punkt $x\\in\\Int(X\\setminus A)$ des Komplements $X\\setminus A$ einer Menge $A$"},
{"word": "offen", "description": "Menge $A\\subseteq X$ mit $\\Int(A)=A$"},
{"word": "abgeschlossen", "description": "Menge $A\\subseteq X$ mit $\\cl(A)=A$"},
{"word": "Häufungspunkt", "description": "Punkt $x\\in X$ mit $K(x,\\varepsilon)\\cap A\\setminus\\{x\\}\\neq\\emptyset$ für alle $\\varepsilon>0$ für eine Menge $A\\subseteq X$, bilden zusammen $\\HP(A)$"},
{"word": "isolierter Punkt", "description": "Punkt $x\\in A$ mit $K(x,\\varepsilon)\\cap A=\\{x\\}$ für ein $\\varepsilon>0$ für eine Menge $A\\subseteq X$, bilden zusammen $\\Iso(A)$"},
{"word": "dicht", "description": "Teilmenge $A\\subseteq X$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ mit $\\cl(A)=X$"},
{"word": "Umgebung", "description": "offene Menge $U\\subseteq X$ die ein gegebenes $x\\in X$ enthält"},
{"word": "beschränkt", "description": "Menge die vollständig in einer Kugel enthalten ist"},
{"word": "vollständig", "description": "metrischer Raum in dem jede Cauchy-Folge konvergiert"},
{"word": "Vervollständigung", "description": "vollständiger metrischer Raum $(\\tilde{X},\\tilde{d})$ mit einer zu einem gegebenen metrischen Raum $(X,d)$ isometrischen dichten Teilmenge, bis auf Isometrie eindeutig"},
{"word": "folgenkompakt", "description": "Menge $A\\subseteq X$ in der jede Folge eine in $A$ konvergente Teilfolge besitzt"},
{"word": "total beschränkt", "description": "Menge $A\\subseteq X$ die für jedes $\\varepsilon>0$ von endlich vielen $\\varepsilon$-Kugeln um Punkte $a_1,a_2,...,a_n\\in A$ überdeckt werden kann"},
{"word": "offene Überdeckung", "description": "Familie $\\mathcal{U}=(U_i)_{i\\in I}$ von offenen Teilmengen von $X$ die zusammen eine gegebene Menge $A\\subseteq X$ überdecken, bzw. deren Vereinigung $A$ enthält"},
{"word": "Teilüberdeckung", "description": "Teilfamilie $\\hat\\mathcal{U}=(U_i)_{i\\in\\hat{I}}$ einer offenen Überdeckung $\\mathcal{U}$ einer Menge $A\\subseteq X$, die selbst eine offene Überdeckung von $A$ ist"},
{"word": "endliche Teilüberdeckung", "description": "Teilüberdeckung mit nur endlich vielen Elementen, bzw. einer endlichen Indexmenge"},
{"word": "kompakt", "description": "Menge $A\\subseteq X$ für die zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung existiert, für metrische Räume äquivalent zu Folgenkompaktheit"},
{"word": "Satz von Heine-Borel", "description": "Teilmengen $A\\subseteq\\setR^n$ sind genau dann kompakt wenn sie beschränkt und abgeschlossen sind"},
{"word": "Topologie", "description": "Menge $\\mathcal{T}\\subseteq\\mathcal{P}(X)$ für eine Menge $X$ die die leere Menge, $X$, jeweils die Vereinigung beliebig vieler Mengen aus $\\mathcal{T}$ und je die Schnittmenge endlich vieler Mengen aus $\\mathcal{T}$ enthält"},
{"word": "topologischer Raum", "description": "Paar $(X,\\mathcal{T})$ einer Menge $X$ und einer darauf definierten Topologie $\\mathcal{T}$"},
{"word": "zusammenhängend", "description": "Menge $A\\subseteq X$ die nicht von zwei disjunkten offenen Mengen überdeckt werden kann, bzw. für die keine zwei zueinander disjunkten offenen Mengen $U,V\\subseteq X$ mit $A\\subseteq U\\dot\\cup V$ und $A\\cap U\\neq\\emptyset$ sowie $A\\cap V\\neq\\emptyset$ existieren"},
{"word": "Zusammenhangskomponente", "description": "Vereinigung $\\mathcal{C}(x)$ aller zusammenhängenden Mengen $A\\subseteq X$ die ein gegebenes $x\\in X$ enthalten, bzw. größte zusammenhängende Menge die $x$ enthält"},
{"word": "Weg", "description": "stetige Abbildung $\\omega:[0,1]\\subseteq\\setR\\to A$ mit $\\omega(0)=a$ und $\\omega(1)=b$ für gegebene Punkte $a,b\\in A$ einer Menge $A\\subseteq X$"},
{"word": "wegzusammenhängend", "synonyms": ["bogenzusammenhängend"], "description": "Menge $A\\subseteq X$ in der zwischen allen Punkten $a,b\\in A$ ein Weg existiert, also eine stetige Abbildung $\\omega:[0,1]\\subseteq\\setR\\to A$ mit $\\omega(0)=a$ und $\\omega(1)=b$"},
{"word": "topologischer Kamm", "description": "Menge $[0,1]\\cup\\left\\{\\frac{1}{n}+iy\\mid n\\in\\setN,y\\in [0,1]\\right\\}\\cup\\{i\\}\\subseteq\\setC$, Beispiel für eine zusammenhängende aber nicht wegzusammenhängende Menge"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Folgen",
"words": [
{"word": "konvergent", "synonyms": ["konvergieren"], "description": "Folge $(x_n)$ gegen einen Grenzwert $x\\in X$, falls zu jedem $\\varepsilon>0$ ein $n_0\\in\\setN$ mit $x_n\\in K(x,\\varepsilon)$ für alle $n\\geq n_0$ existiert, geschrieben $\\lim\\limits_{n\\to\\infty}x_n=x$"},
{"word": "Grenzwert", "synonyms": ["Limes"], "description": "Element $x\\in X$ für eine Folge $(x_n)$, wenn zu jedem $\\varepsilon>0$ ein $n_0\\in\\setN$ mit $x_n\\in K(x,\\varepsilon)$ für alle $n\\geq n_0$ existiert, geschrieben $\\lim\\limits_{n\\to\\infty}x_n=x$"},
{"word": "divergent", "synonyms": ["divergieren"], "description": "Folge die nicht konvergiert bzw. keinen Grenzwert besitzt"},
{"word": "beschränkt", "description": "Folge deren Menge aller Folgenglieder beschränkt ist"},
{"word": "Teilfolge", "description": "Folge $(x_{n_k})_{k\\in\\setN}$ für eine Folge $(x_n)$ sowie eine echt aufsteigende Folge $(n_k)$ in $\\setN$, d.h. Indices $n_1<n_2<...\\in\\setN$"},
{"word": "Häufungspunkt", "description": "Grenzwert einer Teilfolge einer Folge $(x_n)$, bilden zusammen die Menge $\\HP(x_n)$"},
{"word": "Komponentenfolge", "description": "Folge $(v_{nk})_{n\\in\\setN}$ der jeweils $k$-ten Komponente eine Folge $(v_n)$ von Vektoren $v_n=(v_{n1},...,v_{nm})$"},
{"word": "Nullfolge", "description": "Folge in $\\setR$, $\\setC$, $\\setR^n$ oder $\\setC^n$ die gegen die Null oder den Nullvektor konvergiert"},
{"word": "uneigentlich konvergent", "synonyms": ["bestimmt divergent"], "description": "reelle Folge $(x_n)$ wenn zu jedem $M\\in\\setR$ ein $n_0$ mit $x_n\\geq M$ bzw. $x_n\\leq -M$ für alle $n\\geq n_0$ existiert, geschrieben $\\lim\\limits_{n\\to\\infty}x_n\\to\\infty$ bzw. $\\lim\\limits_{n\\to\\infty}x_n\\to-\\infty$"},
{"word": "uneigentlicher Grenzwert", "description": "Grenzwert $\\lim\\limits_{n\\to\\infty}x_n\\in\\{\\pm\\infty\\}$ für uneigentlich konvergente $(x_n)$"},
{"word": "Satz von Bolzano-Weierstraß", "description": "jede beschränkte reelle Folge besitzt einen Häufungspunkt"},
{"word": "monoton wachsend", "description": "reelle Folge $(x_n)$ mit $x_{n+1}\\geq x_n$ für alle $n\\in\\setN$"},
{"word": "monoton fallend", "description": "reelle Folge $(x_n)$ mit $x_{n+1}\\leq x_n$ für alle $n\\in\\setN$"},
{"word": "monoton", "description": "Folge die monoton wachsend oder monoton fallend ist"},
{"word": "Limes Superior", "description": "größter Häufungspunkt $\\limsup\\limits_{n\\to\\infty}x_n:=\\max\\HP(x_n)$ einer beschränkten reellen Folge $(x_n)$, oder $+\\infty$ falls sie nicht nach oben beschränkt ist"},
{"word": "Limes Inferior", "description": "kleinster Häufungspunkt $\\liminf\\limits_{n\\to\\infty}x_n:=\\min\\HP(x_n)$ einer beschränkten reellen Folge $(x_n)$, oder $-\\infty$ falls sie nicht nach unten beschränkt ist"},
{"word": "Eulerzahl", "description": "Konstante $e:=\\lim\\limits_{n\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^n=\\lim\\limits_{n\\to\\infty}\\sum_{k=0}^n\\frac{1}{k!}$"},
{"word": "Cauchy-Folge", "description": "Folge $(x_n)$ für die zu jedem $\\varepsilon>0$ ein $n_0\\in\\setN$ mit $d(x_n,x_m)<\\varepsilon$ für alle $n,m\\geq n_0$ existiert"}
},
{
"type": "topic",
"name": "normierte Vektorräume",
"words": [
{"word": "reeller Vektorraum", "description": "Vektorraum über dem Körper $\\setR$"},
{"word": "komplexer Vektorraum", "description": "Vektorraum über dem Körper $\\setC$"},
{"word": "Norm", "description": "Abbildung $\\norm{\\cdot}:V\\to\\setR$ auf einem reellen oder komplexen Vektorraum $V$ mit $\\norm{x}\\geq 0$, $\\norm{x}=0\\Leftrightarrow x=0_V$, $\\norm{\\alpha\\cdot x}=\\abs{\\alpha}\\cdot\\norm{x}$ und $\\norm{x+y}\\leq\\norm{x}+\\norm{y}$ für alle $x,y\\in V,\\alpha\\in\\setK$"},
{"word": "normierter Vektorraum", "synonyms": ["normierter Raum","normiert"], "description": "reeller oder komplexer Vektorraum $V$ mit einer darauf definierten Norm $\\norm\\cdot$, geschrieben $(V,\\norm\\cdot)$"},
{"word": "p-Norm", "description": "Norm $\\norm{x}_p:=\\left(\\sum_{k=1}^n\\abs{x_k}^p\\right)^\\frac{1}{p}$ auf $\\setR^n$ oder $\\setC^n$ für ein $p\\geq 1$, sowie $\\norm{x}_\\infty:=\\max\\limits_{1\\leq k\\leq n}\\abs{x_k}$ als Grenzfall für $p\\to\\infty$"},
{"word": "euklidische Norm", "description": "Norm $\\norm{x}:=\\norm{x}_2=\\sqrt{\\sum_{k=1}^n\\abs{x_k}^2}$ auf $\\setR^n$ oder $\\setC^n$"},
{"word": "Supremumsnorm", "description": "Norm $\\norm{f}_\\infty:=\\sup\\limits_{x\\in M}\\norm{f(x)}$ auf dem Vektorraum $B(M,Y)$ aller beschränkten Abbildungen $f:M\\to Y$ für eine beliebige Menge $M$ und einen normierten Vektorraum $(Y,\\norm\\cdot)$, für $Y=(\\setR,\\abs\\cdot)$ auch einfach geschrieben $B(M)$"},
{"word": "induzierte Metrik", "description": "Metrik $d(x,y):=\\norm{x-y}$ auf einem normierten Vektorraum $(X,\\norm\\cdot)$"},
{"word": "Banachraum", "description": "normierter Vektorraum der bezüglich der induzierten Metrik vollständig ist"},
{"word": "äquivalent", "description": "Normen $\\norm\\cdot_1,\\norm\\cdot_2$ mit $a\\cdot\\norm{x}_1\\leq\\norm{x}_2\\leq b\\cdot\\norm{x}_1$ für alle $x\\in X$ für ein $a,b\\in\\setR^+$"},
{"word": "Skalarprodukt", "description": "Abbildung $\\langle\\cdot,\\cdot\\rangle:H\\times H\\to\\setK$ auf einem reellen oder komplexen Vektorraum $X$ mit $\\langle x,y\\rangle=\\conj{\\langle y,x\\rangle}$, $\\langle x+y,z\\rangle=\\langle x,z\\rangle+\\langle y,z\\rangle$, $\\langle\\lambda x,y\\rangle=\\lambda\\langle x,y\\rangle=\\langle x,\\conj\\lambda y\\rangle$, $\\langle x,x\\rangle\\in\\setR_0^+$ und $\\langle x,x\\rangle=0\\Leftrightarrow x=0$ für alle $x,y,z\\in H,\\lambda\\in\\setK$, z.B. $\\langle x,y\\rangle:=\\sum_{k=1}^nx_k\\conj{y_k}$ auf $\\setC^n$"},
{"word": "Prähilbertraum", "description": "Vektorraum $H$ mit einem Skalarprodukt $\\langle\\cdot,\\cdot\\rangle$, geschrieben $(H,\\langle\\cdot,\\cdot\\rangle)$"},
{"word": "induzierte Norm", "description": "Norm $\\norm{x}:=\\sqrt{\\langle x,x\\rangle}$ auf einem Prähilbertraum $(H,\\langle\\cdot,\\cdot\\rangle)$"},
{"word": "Cauchy-Schwarzsche Ungleichung", "description": "$\\abs{\\langle x,y\\rangle}\\leq\\norm{x}+\\norm{y}$ für alle $x,y\\in H$ eines Prähilbertraums $(H,\\langle\\cdot,\\cdot\\rangle)$, mit Gleichheit genau im Fall linearer Abhängigkeit"},
{"word": "Parallelogrammgesetz", "description": "$\\norm{x+y}^2+\\norm{x-y}^2=2(\\norm{x}^2+\\norm{y}^2)$ für alle $x,y\\in V$ eines normierten Vektorraums $(V,\\norm\\cdot)$, gilt genau dann wenn die Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird"},
{"word": "Hilbertraum", "description": "Prähilbertraum $(H,\\langle\\cdot,\\cdot\\rangle)$ der mit der induzierten Norm vollständig bzw. ein Banachraum ist"},
{"word": "Hölder-Ungleichung", "description": "$\\norm{x}_p\\cdot\\norm{y}_q\\geq\\sum_{k=1}^n\\abs{x_k}\\cdot\\abs{y_k}$, gilt für alle $x,y\\in\\setR^n$ und $p,q>0$ mit $\\frac{1}{p}+\\frac{1}{q}=1$"},
{"word": "konvex", "description": "Menge $A\\subseteq\\setR^n$ die für alle $x,y\\in A$ auch die Strecke $\\overline{xy}:=\\{x+t(y-x)\\mid t\\in[0,1]\\}$ enthält"},
{"word": "sternförmig", "description": "Menge $A\\subseteq\\setR^n$ die für ein $x_0\\in A$ für alle $x\\in A$ auch die Strecke $\\overline{xx_0}:=\\{x+t(x_0-x)\\mid t\\in[0,1]\\}$ enthält"}
},
{
"type": "topic",
"name": "Reihen",
"words": [
{"word": "Reihe", "description": "Folge $(s_n)$ von Partialsummen $s_n:=\\sum_{k=1}^nx_k$ einer Folge von Reihengliedern $(x_n)$ in einem Banachraum $E$, geschrieben $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$"},
{"word": "Reihenglied", "description": "einzelner Summand $x_i\\in E$ einer Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ in einem Banachraum $E$"},
{"word": "Partialsumme", "description": "Summe $s_n:=\\sum_{k=1}^nx_k$ der ersten $n$ Reihenglieder einer Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ für ein $n\\in\\setN$"},
{"word": "Partialsummenfolge", "description": "Folge $(s_n)$ von Partialsummen $s_n:=\\sum_{k=1}^nx_k$ einer Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$"},
{"word": "konvergent", "description": "Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ deren Partialsummenfolge $(s_n)$ gegen einen Wert $s\\in E$ konvergiert, geschrieben $\\sum_{k=1}^\\infty x_k=s$"},
{"word": "absolut-konvergent", "description": "Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ deren Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty\\norm{x_k}$ der Absolutbeträge konvergiert"},
{"word": "Cauchy-Kriterium", "description": "eine Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ konvergiert genau dann wenn zu jedem $\\varepsilon>0$ ein $n_0$ mit $\\norm{\\sum_{k=n}^mx_k}<\\varepsilon$ für alle $m\\geq n\\geq n_0$ existiert"},
{"word": "harmonische Reihe", "description": "Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty\\frac{1}{k}=1+\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\frac{1}{4}+...$, divergent"},
{"word": "geometrische Reihe", "description": "Reihe $\\sum_{k=0}^\\infty z^k=1+z+z^2+z^3+...$ für ein $z\\in\\setC$, für $\\abs{z}<1$ konvergent gegen $\\frac{1}{1-z}$, ansonsten divergent"},
{"word": "Majorantenkriterium", "description": "jede Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ mit $\\norm{x_k}<c_k$ für alle $k\\in\\setN$ für eine konvergente Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty c_k$ in $\\setR$ konvergiert absolut, und es gilt $\\norm{\\sum_{k=1}^\\infty x_k}\\leq\\sum_{k=1}^\\infty\\norm{x_k}<\\sum_{k=1}^\\infty c_k$"},
{"word": "Wurzelkriterium", "description": "jede Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ mit $\\alpha:=\\limsup\\limits_{k\\to\\infty}\\sqrt[k]{\\norm{x_k}}<1$ konvergiert absolut, jede Reihe mit $\\alpha>1$ divergiert"},
{"word": "Quotientenkriterium", "description": "jede Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ mit $x_k\\neq 0_E$ für alle $k\\in\\setN$ und $\\alpha:=\\limsup\\limits_{k\\to\\infty}\\frac{\\norm{x_{k+1}}}{\\norm{x_k}}<1$ konvergiert absolut, jede Reihe mit $\\beta:=\\liminf\\limits_{k\\to\\infty}\\frac{\\norm{x_{k+1}}}{\\norm{x_k}}>1$ divergiert"},
{"word": "Abel-Dirichlet-Kriterium", "description": "für jede Folge $(x_n)$ in $E$ mit einer beschränkten Partialsummenfolge und jede monoton fallende Nullfolge $(a_n)$ in $\\setR$ ist $\\sum_{k=1}^\\infty a_kx_k$ konvergent"},
{"word": "alternierende harmonische Reihe", "description": "Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty(-1)^{k+1}\\frac{1}{k}=1-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}+...$, konvergiert gegen $\\ln(2)$"},
{"word": "alternierende Reihe", "synonyms": ["alternierend"], "description": "Reihe in $\\setR$ mit wechselndem Vorzeichen, d.h. Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ in $\\setR$ mit $x_k>0\\Leftrightarrow x_{k+1}<0$ für alle $k\\in\\setN$"},
{"word": "Leibnitz-Kriterium", "description": "jede Reihe der Form $\\sum_{k=1}^\\infty(-1)^kb_k$ für eine monoton fallende Nullfolge $(b_k)$ in $\\setR$ konvergiert, und es gilt $\\abs{\\sum_{k=n}^\\infty(-1)^kb_k}\\leq b_n$"},
{"word": "Leibnitz-Reihe", "description": "Reihe $\\sum_{k=0}^\\infty(-1)^k\\frac{1}{2k+1}=1-\\frac{1}{3}+\\frac{1}{5}-\\frac{1}{7}+...$, konvergiert gegen $\\frac{\\pi}{4}$"},
{"word": "Cauchy'sches Verdichtungskriterium", "description": "jede Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ für eine monoton fallende Folge $(x_k)$ positiver reeller Zahlen konvergiert genau dann wenn $\\sum_{k=0}^\\infty 2^kx_{2^k}$ konvergiert"},
{"word": "Cauchy-Produkt", "description": "Reihe $\\sum_{k=0}^\\infty c_k$ mit $c_k:=\\sum_{j=0}^ka_jb_{k-j}$ für zwei Reihen $\\sum_{k=0}^\\infty a_k$ und $\\sum_{k=0}^\\infty b_k$, konvergiert mit $\\sum_{k=0}^\\infty c_k=\\left(\\sum_{k=0}^\\infty a_k\\right)\\cdot\\left(\\sum_{k=0}^\\infty b_k\\right)$ wenn eine der Reihen konvergent und die andere absolut-konvergent ist, konvergiert absolut wenn beide absolut-konvergent sind"},
{"word": "Umordnung", "description": "Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_{f(k)}$ für eine Reihe $\\sum_{k=1}^\\infty x_k$ und eine Bijektion $f:\\setN\\to\\setN$"},
{"word": "Umordnungssatz", "description": "jede Umordnung einer absolut-konvergenten Reihe konvergiert gegen denselben Wert"},
{"word": "Riemannscher Umordnungs", "description": "jede konvergente aber nicht absolut-konvergente Reihe in $\\setR$ besitzt zu jedem $x\\in\\setR$ eine Umordnung die gegen $x$ konvergiert"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Potenzreihen",
"words": [
{"word": "Potenzreihe", "description": "Reihe der Form $\\sum_{n=0}^\\infty a_n(z-z_0)^n$ in $\\setC$ für ein $z_0\\in\\setC$ und eine Folge $(a_n)$ komplexer Zahlen"},
{"word": "Koeffizientenfolge", "description": "Folge $(a_n)$ für eine Potenzreihe $\\sum_{n=0}^\\infty a_n(z-z_0)^n$"},
{"word": "Zentrum", "description": "Zahl $z_0\\in\\setC$ für eine Potenzreihe $\\sum_{n=0}^\\infty a_n(z-z_0)^n$"},
{"word": "Konvergenzradius", "description": "Radius $R:=\\sup\\{\\abs{z-z_0}\\mid P(z)\\textrm{ konvergiert}\\}\\in\\setR_0^+\\cup\\{\\infty\\}$ in dem eine Potenzreihe $P(z)$ (absolut) konvergiert"},
{"word": "Konvergenzkreis", "description": "offene Kreisscheibe $K(z_0,R)\\subseteq\\setC$ für eine Potenzreihe mit dem Zentrum $z_0$ und Konvergenzradius $R$"},
{"word": "Exponentialfunktion", "synonyms": ["exp"], "description": "Abbildung $\\exp:\\setC\\to\\setC,z\\mapsto e^z:=\\sum_{n=0}^\\infty\\frac{z^n}{n!}$"},
{"word": "Logarithmusfunktion", "synonyms": ["natürlicher Logarithmus","ln"], "description": "Umkehrfunktion $\\ln:\\setR^+\\to\\setR$ der reellen Exponentialfunktion $\\exp\\vert_\\setR$"},
{"word": "Logarithmus", "synonyms": ["log"], "description": "Umkehrfunktion $\\log_a:\\setR^+\\to\\setR$ der Einschränkung von $\\exp_a:\\setC\\to\\setC^+,z\\to a^z:=e^{\\ln(a)\\cdot z}$ auf $\\setR$ für ein $a\\in\\setR^+\\setminus\\{1\\}$"},
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{"word": "Identitätssatz für Potenzreihen", "description": "zwei Potenzreihen $P(z)$ und $Q(z)$ mit dem Zentrum $z_0\\in\\setC$ und positiven Konvergenzradien $R_1,R_2\\in\\setR^+$ sind identisch bzw. haben die gleiche Koeffizientenfolge wenn eine Folge $(z_n)$ in $K(z_0,\\min\\{R_1,R_2\\})\\setminus\\{z_0\\}$ mit $P(z_n)=Q(z_n)$ für alle $n\\in\\setN$ und $\\lim\\limits_{n\\to\\infty}z_n=z_0$ existiert"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "stetige Abbildungen",
"words": [
{"word": "Grenzwert", "description": "Wert $y_0\\in Y$ für eine Abbildung $f:A\\subseteq X\\to Y$ zwischen metrischen Räumen $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ sowie ein $x_0\\in\\HP(A)$, wenn für jede gegen $x_0$ konvergente Folge $(a_n)$ in $A\\setminus\\{x_0\\}$ die Folge $(f(a_n))$ der Bildwerte gegen $y_0$ konvergiert, geschrieben $\\lim\\limits_{x\\to x_0}f(x)=y_0$"},
{"word": "linksseitiger Grenzwert", "description": "Wert $y_0\\in\\setR\\cup\\{\\pm\\infty\\}$ für eine Abbildung $f:A\\subseteq\\setR\\to\\setR$ und ein $x_0\\in\\HP^-(A):=\\{x\\in\\setR\\mid x\\in\\HP(A\\cap(-\\infty,x))\\}$, wenn für jede gegen $x_0$ konvergente Folge $(a_n)$ in $A\\cap(-\\infty,x_0)$ $\\lim\\limits_{n\\to\\infty}f(a_n)=y_0$ ist, geschrieben $\\lim\\limits_{x\\to x_0^-}f(x)=y_0$"},
{"word": "rechtsseitiger Grenzwert", "description": "Wert $y_0\\in\\setR\\cup\\{\\pm\\infty\\}$ für eine Abbildung $f:A\\subseteq\\setR\\to\\setR$ und ein $x_0\\in\\HP^+(A):=\\{x\\in\\setR\\mid x\\in\\HP(A\\cap(x,+\\infty))\\}$, wenn für jede gegen $x_0$ konvergente Folge $(a_n)$ in $A\\cap(x_0,+\\infty)$ $\\lim\\limits_{n\\to\\infty}f(a_n)=y_0$ ist, geschrieben $\\lim\\limits_{x\\to x_0^+}f(x)=y_0$"},
{"word": "einseitiger Grenzwert", "description": "links- oder rechtsseitiger Grenzwert einer Abbildung $f:A\\subseteq\\setR\\to\\setR$ in einem Punkt $x\\in\\HP(A)$"},
{"word": "stetig", "description": "Abbildung $f:X\\to Y$ im Punkt $x_0\\in X$ wenn zu jedem $\\varepsilon>0$ ein $\\delta>0$ mit $f(K_X(x_0,\\delta))\\subseteq K_Y(f(x_0),\\varepsilon)$ existiert"},
{"word": "folgenstetig", "description": "Abbildung $f:X\\to Y$ im Punkt $x_0\\in X$ wenn für jede gegen $x_0$ konvergente Folge $(x_n)$ in $X$ die Folge $(f(x_n))$ der Bildpunkte gegen $f(x_0)$ konvergiert, für metrische Räume äquivalent zu Stetigkeit"},
{"word": "unstetig", "description": "Abbildung $f:X\\to Y$ im Punkt $x_0\\in X$ wenn sie dort nicht stetig ist"},
{"word": "Unstetigkeitsstelle", "description": "Stelle $x\\in\\Int(A)$ in der eine Funktion $f:A\\subseteq\\setR\\to\\setR$ unstetig ist"},
{"word": "hebbare Unstetigkeitsstelle", "synonyms": ["hebbar"], "description": "Unstetigkeitsstelle $x_0$ einer Funktion $f:A\\subseteq\\setR\\to\\setR$ mit $\\lim\\limits_{x\\to x_0^-}f(x)=\\lim\\limits_{x\\to x_0^+}f(x)=:c\\in\\setR$ aber $f(x_0)\\neq c$"},
{"word": "Sprungstelle", "description": "Unstetigkeitsstelle $x_0$ einer Funktion $f:A\\subseteq\\setR\\to\\setR$ für die die einseitigen Grenzwerte in $\\setR$ existieren aber unterschiedlich sind"},
{"word": "Sprung", "description": "Differenz $\\sigma(f,x_0):=\\lim\\limits_{x\\to x_0^+}f(x)-\\lim\\limits_{x\\to x_0^-}f(x)$ der einseitigen Grenzwerte einer Funktion $f:A\\subseteq\\setR\\to\\setR$ in einer Sprungstelle $x_0$"},
{"word": "Unstetigkeitsstelle erster Art", "description": "Unstetigkeitsstelle $x_0$ einer Funktion $f:A\\subseteq\\setR\\to\\setR$ für die die einseitigen Grenzwerte in $\\setR$ existieren, die also hebbar oder eine Sprungstelle ist"},
{"word": "Unstetigkeitsstelle zweiter Art", "description": "Unstetigkeitsstelle $x_0$ einer Funktion $f:A\\subseteq\\setR\\to\\setR$ für die mindestens einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht in $\\setR$ existiert"},
{"word": "Dirichlet-Funktion", "description": "Funktion $h:\\setR\\to\\setR$ mit $h(x):=1$ für alle rationalen Zahlen $x$ und $h(x):=0$ für alle irrationalen"},
{"word": "rationale Funktion", "description": "Quotient zweier Polynomfunktionen, d.h. Abbildung $f:A\\subseteq\\setC\\to\\setC,z\\mapsto\\frac{P(z)}{Q(z)}$ mit $A:=\\{z\\in\\setC\\mid Q(z)\\neq 0\\}$ für zwei Polynome $P,Q\\in\\setC[x]$"},
{"word": "gleichmäßig stetig", "description": "Abbildung $f:X\\to Y$ wenn zu jedem $\\varepsilon>0$ ein $\\delta>0$ mit $f(K_X(x,\\delta))\\subseteq K_Y(f(x),\\varepsilon)$ für alle $x\\in X$ existiert"},
{"word": "lipschitzstetig", "description": "Abbildung $f:X\\to Y$ mit $d_Y(f(x_1),f(x_2))\\leq L\\cdot d_X(x_1,y_2)$ für alle $x_1,x_2\\in X$ für eine Konstante $L\\in\\setR^+$, genannt Lipschitz-Konstante"},
{"word": "Lipschitz-Konstante", "description": "Konstante $L\\in\\setR^+$ mit $d_Y(f(x_1),f(x_2))\\leq L\\cdot d_X(x_1,y_2)$ für alle $x_1,x_2\\in X$ und eine Abbildung $f:X\\to Y$"},
{"word": "Zwischenwertsatz", "description": "für jede reellwertige Abbildung $f:X\\to\\setR$ von einem metrischen Raum $(X,d)$ mit einer zusammenhängenden Teilmenge $A\\subseteq X$ auf $\\setR$ gilt für alle $a,b\\in f(A)$ mit $a<b$ auch $[a,b]\\subseteq f(A)$"},
{"word": "Satz von Weierstraß", "description": "jede stetige Abbildung $f:X\\to\\setR$ nimmt auf kompakten Mengen $K\\subseteq X$ ein Minimum und ein Maximum an, d.h. es gibt $a,b\\in K$ mit $f(a)=\\inf f(K)$ und $f(b)=\\sup f(K)$"},
{"word": "Satz von Heine", "description": "jede stetige Abbildung $f:X\\to Y$ ist auf kompakten Mengen $K\\subseteq X$ sogar gleichmäßig stetig"},
{"word": "Homöomorphismus", "description": "stetige bijektive Abbildung $f:X\\to Y$ deren Umkehrabbildung $f^{-1}$ ebenfalls stetig ist"},
{"word": "homöomorph", "description": "metrische Räume zwischen denen es einen Homöomorphismus gibt, geschrieben $\\simeq$"},
{"word": "kontrahierend", "synonyms": ["Kontraktion"], "description": "lipschitzstetige Abbildung $f:X\\to X$ mit einer Lipschitz-Konstanten $0<L<1$"},
{"word": "Banachscher Fixpunktsatz", "description": "jede kontrahierende Abbildung $f:X\\to Y$ auf einem vollständigen metrischen Raum $(X,d)$ besitzt genau einen Fixpunkt $x^*\\in X$, und es gilt $\\lim\\limits_{n\\to\\infty}f^n(x_0)=x^*$ für alle $x_0\\in X$"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Funktionenfolgen und -reihen",
"words": [
{"word": "Funktionenfolge", "description": "Folge $(f_n)$ von Funktionen $f_n:X\\to Y$"},
{"word": "punktweise konvergent", "description": "Folge $(f_n)$ stetiger Abbildungen $f_n:X\\to Y$ wenn die Folge der Bildpunkte $(f_n(x))$ für jedes $x\\in X$ in $Y$ konvergiert"},
{"word": "Grenzfunktion", "description": "Funktion $f:X\\to Y,x\\mapsto\\lim\\limits_{n\\to\\infty}f_n(x)$ für eine punktweise konvergente Folge $(f_n)$ stetiger Abbildungen $f_n:X\\to Y$, geschrieben $f_n\\to f$"},
{"word": "gleichmäßig konvergent", "description": "Folge $(f_n)$ stetiger Abbildungen $f_n:X\\to Y$ wenn zu jedem $\\varepsilon>0$ ein $n_0\\in\\setN$ mit $d(f_n(x),f(x))<\\varepsilon$ für alle $n\\geq n_0$ und $x\\in X$ existiert, geschrieben $f_n\\rightrightarrows f$"},
{"word": "Funktionenreihe", "description": "Reihe $\\sum_{n=0}^\\infty f_n$ von Funktionen $f_n:X\\to E$ für einen metrischen Raum $(X,d)$ und einen Banachraum $(E,\\norm\\cdot)$"},
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{"word": "Weierstraßsches Majorantenkriterium", "description": "jede Reihe $\\sum_{n=0}^\\infty f_n$ beschränkter Abbildungen $f_n:X\\to E$ mit $\\norm{f_n(x)}\\leq c_n$ für alle $n\\in\\setN_0$ und $x\\in X$ für eine konvergente Reihe $\\sum_{n=0}^\\infty c_n$ in $\\setR$ konvergiert gleichmäßig"},
{"word": "Weierstraßscher Approximationssatz", "description": "die Menge $P([a,b],\\setK)$ der Polynomfunktionen von $[a,b]\\subseteq\\setR$ auf die reellen oder komplexen Zahlen $\\setK$ liegt dicht im Raum $C([a,b],\\setK)$ aller stetigen Funktionen, d.h. jede stetige Abbildung $f:[a,b]\\to\\setK$ ist Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge von Polynomfunktionen"},
{"word": "Bernstein-Polynom", "description": "Polynom $B_{k,n}:=\\binom{n}{k}t^k(1-t)^{n-k}\\in\\setR[t]$ für ein $k,n\\in\\setN_0$ mit $k\\leq n$, nützlich zum Beweis des Weierstraßschen Approximationssatzes"},
{"word": "Approximationssatz von Stone-Weierstraß", "description": "jede Unteralgebra $\\mathcal{R}$ des Banachraums $C(X,\\setK)$ aller Abbildungen von einem kompakten metrischen Raum $X$ auf die reellen oder komplexen Zahlen $\\setK$ die alle konstanten Funktionen enthält, Punkte trennt (also für alle $x,y\\in X$ mit $x\\neq y$ eine Funktion $f$ mit $f(x)\\neq f(y)$ enthält) und mit jeder Funktion auch deren komplexes Konjugat enthält liegt dicht in $C(X,\\setK)$, d.h. jedes $f\\in C(X,\\setK)$ ist Grenzfunktion einer auf $X$ gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge in $\\mathcal{R}$"},
{"word": "reelles trigonometrisches Polynom", "description": "$2\\pi$-periodische Funktion $f:\\setR\\to\\setR,x\\mapsto f(x):=a_0+\\sum_{k=1}^n(a_k\\cos(kx)+b_k\\sin(kx))$ für Koeffizienten $a_0,a_1,...,a_n,b_1,...,b_n\\in\\setR$"},
{"word": "komplexes trigonometrisches Polynom", "description": "$2\\pi$-periodische Funktion $f:\\setR\\to\\setC,x\\mapsto f(x):=\\sum_{k=-n}^mc_ke^{ikx}$ für $n,m\\in\\setN_0$ und $c_{-n},...,c_m\\in\\setC$"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "trigonometrische Funktionen",
"words": [
{"word": "trigonometrische Funktionen", "description": "Funktionen $\\sin$, $\\cos$, $\\tan$ und $\\cot$"},
{"word": "Sinus", "synonyms": ["sin"], "description": "Abbildung $\\sin:\\setC\\to\\setC,z\\mapsto=\\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=z-\\frac{z^3}{3!}+\\frac{z^5}{5!}-...$"},
{"word": "Cosinus", "synonyms": ["cos"], "description": "Abbildung $\\cos:\\setC\\to\\setC,z\\mapsto=\\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=1-\\frac{z^2}{2!}+\\frac{z^4}{4!}-...$"},
{"word": "eulersche Formel", "description": "$e^{iz}=\\cos(z)+i\\sin(z)$ für alle $z\\in\\setC$"},
{"word": "eulersche Identität", "description": "Spezialfall $e^{i\\pi}=-1$ der eulerschen Formel"},
{"word": "Additionstheoreme", "description": "$\\sin(z_1+z_2)=\\sin(z_1)\\cos(z_2)+\\cos(z_1)\\sin(z_2)$ und $\\cos(z_1+z_2)=\\cos(z_1)\\cos(z_2)-\\sin(z_1)\\sin(z_2)$ für alle $z_1,z_2\\in\\setC$"},
{"word": "Pi", "description": "Zahl $\\pi\\in\\setR$"},
{"word": "Tangens", "synonyms": ["tan"], "description": "Abbildung $\\tan:\\setC\\setminus\\left(\\frac{\\pi}{2}+\\pi\\setZ\\right)\\to\\setC,z\\mapsto\\frac{\\sin(z)}{\\cos(z)}$"},
{"word": "Cotangens", "synonyms": ["cot"], "description": "Abbildung $\\cot:\\setC\\setminus\\pi\\setZ\\to\\setC,z\\mapsto\\frac{\\cos(z)}{\\sin(z)}$"},
{"word": "Arcussinus", "synonyms": ["arcsin"], "description": "Umkehrfunktion $\\arcsin:[-1,1]\\to[-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2}]$ von $\\sin\\mid_{[-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2}]}$"},
{"word": "Arcuscosinus", "synonyms": ["arccos"], "description": "Umkehrfunktion $\\arccos:[-1,1]\\to[0,\\pi]$ von $\\cos\\mid_{[0,\\pi]}$"},
{"word": "Arcustangens", "synonyms": ["arctan"], "description": "Umkehrfunktion $\\arctan:\\setR\\to(-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2})$ von $\\tan\\mid_{(-\\frac{\\pi}{2},\\frac{\\pi}{2})}$"},
{"word": "Arcuscotangens", "synonyms": ["arccot"], "description": "Umkehrfunktion $\\arccot:\\setR\\to(0,\\pi)$ von $\\cot\\mid_{(0,\\pi)}$"}
]
},
{
"type": "topic",
"name": "Hyperbelfunktionen",
"words": [
{"word": "Hyperbelfunktionen", "description": "Funktionen $\\sinh$, $\\cosh$, $\\tanh$ und $\\coth$"},
{"word": "Sinus hyperbolicus", "synonyms": ["sinh"], "description": "Abbildung $\\sinh:\\setC\\to\\setC,z\\mapsto-i\\sin(iz)=\\frac{e^z-e^{-z}}{2}=z+\\frac{z^3}{3!}+\\frac{z^5}{5!}+...$"},
{"word": "Cosinus hyperbolicus", "synonyms": ["cosh"], "description": "Abbildung $\\cosh:\\setC\\to\\setC,z\\mapsto\\cos(iz)=\\frac{e^z+e^{-z}}{2}=1+\\frac{z^2}{2!}+\\frac{z^4}{4!}+...$"},
{"word": "Tangens hyperbolicus", "synonyms": ["tanh"], "description": "Abbildung $\\tanh:\\setC\\setminus\\left(i\\frac{\\pi}{2}+i\\pi\\setZ\\right),z\\mapsto\\frac{\\sinh(z)}{\\cosh(z)}=\\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}$"},
{"word": "Cotangens hyperbolicus", "synonyms": ["coth"], "description": "Abbildung $\\coth:\\setC\\setminus i\\pi\\setZ,z\\mapsto\\frac{\\cosh(z)}{\\sinh(z)}=\\frac{e^{2z}+1}{e^{2z}-1}$"},
{"word": "Areasinus hyperbolicus", "synonyms": ["arsinh"], "description": "Umkehrfunktion $\\arsinh:\\setR\\to\\setR$ von $\\sinh\\mid_\\setR$"},
{"word": "Areacosinus hyperbolicus", "synonyms": ["arcosh"], "description": "Umkehrfunktion $\\arcosh:[1,+\\infty)\\to[0,+\\infty)$ von $\\cosh\\mid_{[0,+\\infty)}$"},
{"word": "Areatangens hyperbolicus", "synonyms": ["artanh"], "description": "Umkehrfunktion $\\artanh:(-1,1)\\to\\setR$ von $\\tanh\\mid_\\setR$"},
{"word": "Areacotangens hyperbolicus", "synonyms": ["arcoth"], "description": "Umkehrfunktion $\\arcoth:\\setR\\setminus[-1,1]\\to\\setR\\setminus\\{0\\}$ von $\\coth\\mid_{\\setR\\setminus\\{0\\}}$"}
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},
{
"type": "topic",
"name": "Differentialrechnung",
"words": [
{"word": "Differentialrechnung", "description": "Betrachtung des lokalen Änderungsverhaltens einer Funktion"},
{"word": "lokales Änderungsverhalten", "description": "Grundkonzept der Differentialrechnung"},
{"word": "differenzierbar", "description": "Abbildung $f:I\\subseteq\\setR\\to E$ von einem Intervall $I$ in einen normierten Vektorraum $E$ im Punkt $x_0\\in I$ wenn der Grenzwert $f'(x_0):=\\frac{df}{dx}(x_0):=\\lim\\limits_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existiert, bzw. Abbildung die in jedem Punkt differenzierbar ist"},
{"word": "Ableitung", "description": "Grenzwert $f'(x_0):=\\frac{df}{dx}(x_0):=\\lim\\limits_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ für ein $x_0\\in I$ und eine in $x_0$ differenzierbare Abbildung $f:I\\to E$ von einem Intervall $I\\subseteq\\setR$ in einen normierten Vektorraum $E$, bzw. Abbildung $f':I\\to E,x\\mapsto f'(x)$ wenn $f$ in jedem Punkt differenzierbar ist"},
{"word": "Sekante", "description": "Gerade durch zwei Bildpunkte einer Funktion"},
{"word": "Tangente", "description": "Gerade durch einen Bildpunkt einer Funktion mit der Ableitung der Funktion in diesem Punkt als Steigung"},
{"word": "Differenzenquotient", "description": "Differenz der Bildpunkte zweier Punkte durch die Differenz der Punkte selbst, z.B. $\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$"},
{"word": "Produktregel", "description": "$(h\\cdot f)'(x_0)=h(x_0)f'(x_0)+h'(x_0)f(x_0)$ für in $x_0\\in I$ differenzierbare Abbildungen $h:I\\to\\setK,f:I\\to E$ für einen normierten Vektorraum $E$ auf dem Körper $\\setK$ der reellen oder komplexen Zahlen"},
{"word": "Quotientenregel", "description": "$\\left(\\frac{f}{h}\\right)'(x_0)=\\frac{h(x_0)f'(x_0)-h'(x_0)f(x_0)}{(h(x_0))^2}$ für in $x_0\\in I$ differenzierbare Abbildungen $h:I\\to\\setK,f:I\\to E$ mit $h(x_0)\\neq 0$ für einen normierten Vektorraum $E$ auf dem Körper $\\setK$ der reellen oder komplexen Zahlen"},
{"word": "Kettenregel", "description": "$(f\\circ g)'(x_0)=g'(x_0)f'(g(x_0))$ für eine in $x_0$ differenzierbare Abbildung $g:I\\to J$ zwischen Intervallen $I,J\\subseteq\\setR$ sowie eine in $g(x_0)$ differenzierbare Abbildung $f:J\\to E$ von $J$ auf einen normierten Vektorraum $E$"},
{"word": "erste Ableitung"},
{"word": "zweite Ableitung"},
{"word": "dritte Ableitung"},
{"word": "stetig differenzierbar", "description": "differenzierbare Funktion deren Ableitung stetig ist"},
{"word": "glatt", "description": "Funktion die beliebig oft differenzierbar ist"},
{"word": "lokales Minimum", "description": "Wert $x_0\\in I$ für den für eine Funktion $f:I\\subseteq\\setR\\to\\setR$ ein $\\varepsilon>0$ mit $f(x)\\geq f(x_0)$ für alle $x\\in I\\cap(x_0-\\varepsilon,x_0+\\varepsilon)$ existiert"},
{"word": "lokales Maximum", "description": "Wert $x_0\\in I$ für den für eine Funktion $f:I\\subseteq\\setR\\to\\setR$ ein $\\varepsilon>0$ mit $f(x)\\leq f(x_0)$ für alle $x\\in I\\cap(x_0-\\varepsilon,x_0+\\varepsilon)$ existiert"},
{"word": "lokaler Extremwert", "description": "lokales Minimum oder Maximum einer Funktion"},
{"word": "Satz von Rolle", "description": "für jede stetige, auf $(a,b)$ differenzierbare Abbildung $f:[a,b]\\to\\setR$ mit $f(a)=f(b)$ existiert ein $x_0\\in(a,b)$ mit $f'(x_0)=0$"},
{"word": "Mittelwertsatz von Cauchy", "description": "für alle stetigen, auf $(a,b)$ differenzierbaren Abbildungen $f,g:[a,b]\\to\\setR$ existiert ein $\\xi\\in(a,b)$ mit $(g(b)-g(a))f'(\\xi)=(f(b)-f(a))g'(\\xi)$"},
{"word": "Mittelwertsatz von Lagrange", "description": "für jede stetige, auf $(a,b)$ differenzierbare Abbildung $f:[a,b]\\to\\setR$ existiert ein $\\xi\\in(a,b)$ mit $f'(\\xi)=\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$"},
{"word": "isoliertes lokales Minimum", "description": "Wert $x_0\\in I$ für den für eine Funktion $f:I\\subseteq\\setR\\to\\setR$ ein $\\varepsilon>0$ mit $f(x)>f(x_0)$ für alle $x\\in I\\cap(x_0-\\varepsilon,x_0+\\varepsilon)\\setminus\\{x_0\\}$ existiert"},
{"word": "isoliertes lokales Maximum", "description": "Wert $x_0\\in I$ für den für eine Funktion $f:I\\subseteq\\setR\\to\\setR$ ein $\\varepsilon>0$ mit $f(x)<f(x_0)$ für alle $x\\in I\\cap(x_0-\\varepsilon,x_0+\\varepsilon)\\setminus\\{x_0\\}$ existiert"}
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